Упр.13.35 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 35. Найдите расстояние между сторонами ромба, диагонали которого равны d1 и d2. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 pogorelov7-9 13-35 76

Пусть $$ABCD$$ — данный ромб, его диагонали равны $$AC=d_1$$ и $$BD=d_2$$. Обозначим точку пересечения диагоналей через $$O$$.

В ромбе диагонали делят друг друга пополам и перпендикулярны, значит

$$AO=OC=\frac{d_1}{2}, \qquad BO=OD=\frac{d_2}{2}, \qquad AC \perp BD.$$

Опустим перпендикуляры $$OE \perp AB$$ и $$OF \perp CD$$. Так как $$AB \parallel CD$$, точки $$E, O, F$$ лежат на одной прямой, поэтому искомое расстояние между сторонами ромба равно $$EF$$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$AEO$$ и $$CFO$$. У них

$$AO=OC=\frac{d_1}{2}, \qquad \angle AOE=\angle COF$$

как вертикальные углы. Следовательно, треугольники равны, откуда

$$OE=OF,$$

а значит

$$EF=OE+OF=2OE.$$

Найдём $$OE$$. В прямоугольном треугольнике $$AOD$$ по теореме Пифагора:

$$ AD=\sqrt{AO^2+OD^2} =\sqrt{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2+\left(\frac{d_2}{2}\right)^2} =\frac{1}{2}\sqrt{d_1^2+d_2^2}. $$

Треугольники $$AEO$$ и $$AOD$$ подобны, так как оба прямоугольные и имеют общий острый угол. Поэтому

$$\frac{OE}{AO}=\frac{AO}{AD},$$

откуда

$$OE=\frac{AO^2}{AD}.$$

Подставим найденные значения:

$$ OE=\frac{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2}{\frac{1}{2}\sqrt{d_1^2+d_2^2}} =\frac{d_1^2}{2\sqrt{d_1^2+d_2^2}}. $$

Тогда

$$ EF=2OE=\frac{d_1^2}{\sqrt{d_1^2+d_2^2}}. $$

Но расстояние между противоположными сторонами ромба можно выразить и через площадь: $$S=\frac{d_1d_2}{2}$$, а также $$S=AD\cdot EF$$. Тогда

$$ EF=\frac{S}{AD} =\frac{\frac{d_1d_2}{2}}{\frac{1}{2}\sqrt{d_1^2+d_2^2}} =\frac{d_1d_2}{\sqrt{d_1^2+d_2^2}}. $$

Итак, расстояние между сторонами ромба равно

Ответ: $$\frac{d_1d_2}{\sqrt{d_1^2+d_2^2}}$$.