Упр.6.35 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Углы, образуемые диагоналями ромба с одной из его сторон, относятся как $$4:5$$. Найдите углы ромба.

Пусть $$ABCD$$ — данный ромб. Диагонали ромба биссектрисы его углов, значит они делят углы при вершинах $$A$$ и $$B$$ пополам.

Обозначим $$\angle OAB=4x$$, $$\angle ABO=5x$$, где $$O$$ — точка пересечения диагоналей.

Треугольник $$AOB$$ прямоугольный, так как диагонали ромба перпендикулярны: $$AC \perp BD$$. Тогда

$$\angle OAB+\angle ABO=90^\circ,$$

то есть

$$4x+5x=90^\circ,$$

$$9x=90^\circ,$$

$$x=10^\circ.$$

Следовательно,

$$\angle OAB=4\cdot 10^\circ=40^\circ,$$

$$\angle ABO=5\cdot 10^\circ=50^\circ.$$

Тогда углы ромба равны:

$$\angle A=2\angle OAB=2\cdot 40^\circ=80^\circ,$$

$$\angle B=2\angle ABO=2\cdot 50^\circ=100^\circ.$$

Противоположные углы ромба равны, значит

$$\angle C=80^\circ,\qquad \angle D=100^\circ.$$

Ответ: $$80^\circ,\ 100^\circ,\ 80^\circ,\ 100^\circ.$$