Упр.3.35 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. 3-35. Отрезки $$AB$$ и $$CD$$ пересекаются. Докажите, что если отрезки $$AC$$, $$CB$$, $$BD$$ и $$AD$$ равны, то луч $$AB$$ является биссектрисой угла $$CAD$$, а луч $$CD$$ — биссектрисой угла $$ACB$$ (рис. 66).

Рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$ABD$$. По условию $$AC=CB$$ и $$AD=BD$$, а сторона $$AB$$ у них общая. Значит, $$\triangle ABC \cong \triangle ABD$$ по третьему признаку равенства треугольников.

Из равенства треугольников получаем равенство соответствующих углов:

$$\angle CAB=\angle ABD,\qquad \angle CBA=\angle BAD.$$

Следовательно, луч $$AB$$ делит угол $$CAD$$ пополам, то есть является биссектрисой угла $$CAD$$.

Теперь рассмотрим треугольник $$ACD$$. Так как $$AC=AD$$, он равнобедренный с основанием $$CD$$. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая из вершины к основанию, является также высотой. Значит, прямая $$AB$$, являясь биссектрисой угла $$CAD$$, перпендикулярна $$CD$$:

$$AB\perp CD.$$

Тогда в треугольнике $$ACB$$ прямая $$CD$$, проходящая через точку пересечения с $$AB$$ и перпендикулярная $$AB$$, является высотой. Но $$AC=CB$$, значит $$\triangle ACB$$ тоже равнобедренный, и его высота из вершины $$C$$ одновременно является биссектрисой. Следовательно, луч $$CD$$ является биссектрисой угла $$ACB$$.

Итак, $$AB$$ — биссектриса угла $$CAD$$, а $$CD$$ — биссектриса угла $$ACB$$.