Упр.14.35 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Найдите наименьшую высоту треугольника со сторонами: 1) $$5, 5, 6$$; 2) $$17, 65, 80$$; наибольшую высоту треугольника со сторонами: 3) $$\frac{25}{6}, \frac{29}{6}, 6$$; 4) $$13, 37\frac{12}{13}, 47\frac{1}{13}$$.

Как было доказано в задаче 14.20, стороны треугольника обратно пропорциональны его высотам: к наибольшей стороне проведена наименьшая высота, а к наименьшей стороне — наибольшая.

Для нахождения площади треугольника по трём сторонам воспользуемся формулой Герона:

$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, \qquad p=\frac{a+b+c}{2}.$$

1. $$a=5,\quad b=5,\quad c=6.$$

   $$p=\frac{5+5+6}{2}=8.$$

   $$S=\sqrt{8\cdot(8-5)\cdot(8-5)\cdot(8-6)}=\sqrt{8\cdot3\cdot3\cdot2}=12.$$

   Наибольшая сторона $$c=6$$, значит, наименьшая высота — $$h_c$$.

   $$S=\frac12 ch_c,\qquad h_c=\frac{2S}{c}=\frac{2\cdot12}{6}=4.$$

2. $$a=17,\quad b=65,\quad c=80.$$

   $$p=\frac{17+65+80}{2}=81.$$

   $$S=\sqrt{81\cdot(81-17)\cdot(81-65)\cdot(81-80)}=\sqrt{81\cdot64\cdot16\cdot1}=288.$$

   Наибольшая сторона $$c=80$$, значит, наименьшая высота — $$h_c$$.

   $$h_c=\frac{2S}{c}=\frac{2\cdot288}{80}=\frac{576}{80}=7{,}2.$$

3. $$a=\frac{25}{6},\quad b=\frac{29}{6},\quad c=6.$$

   $$p=\frac{1}{2}\left(\frac{25}{6}+\frac{29}{6}+6\right)=\frac{45}{6}.$$

   $$S=\sqrt{\frac{45}{6}\left(\frac{45}{6}-\frac{25}{6}\right)\left(\frac{45}{6}-\frac{29}{6}\right)\left(\frac{45}{6}-\frac{36}{6}\right)}$$

   $$=\sqrt{\frac{45}{6}\cdot\frac{20}{6}\cdot\frac{16}{6}\cdot\frac{9}{6}}=10.$$

   Наименьшая сторона $$a=\frac{25}{6}$$, значит, наибольшая высота — $$h_a$$.

   $$h_a=\frac{2S}{a}=\frac{2\cdot10}{25/6}=\frac{120}{25}=4{,}8.$$

4. $$a=13,\quad b=37\frac{12}{13},\quad c=47\frac{1}{13}.$$

   Переведём в неправильные дроби:

   $$b=\frac{37\cdot13+12}{13}=\frac{493}{13},\qquad c=\frac{47\cdot13+1}{13}=\frac{612}{13}.$$

   $$p=\frac{1}{2}\left(13+\frac{493}{13}+\frac{612}{13}\right)=\frac{49}{1}=49.$$

   $$S=\sqrt{49\left(49-13\right)\left(49-\frac{493}{13}\right)\left(49-\frac{612}{13}\right)}$$

   $$=\sqrt{49\cdot36\cdot\frac{144}{13}\cdot\frac{25}{13}}=\frac{2520}{13}.$$

   Наименьшая сторона $$a=13$$, значит, наибольшая высота — $$h_a$$.

   $$h_a=\frac{2S}{a}=\frac{2\cdot\frac{2520}{13}}{13}=\frac{5040}{169}=29\frac{139}{169}.$$

Ответ: 1) $$4$$; 2) $$7{,}2$$; 3) $$4{,}8$$; 4) $$29\frac{139}{169}$$.