Упр.13.35 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Найдите расстояние между сторонами ромба, диагонали которого равны $$d_1$$ и $$d_2$$.
Пусть $$ABCD$$ — данный ромб, $$AC=d_1$$, $$BD=d_2$$. Обозначим через $$O$$ точку пересечения диагоналей.
Тогда по свойствам ромба диагонали делятся точкой пересечения пополам и перпендикулярны друг другу:
$$AO=OC=\frac{d_1}{2}, \qquad BO=OD=\frac{d_2}{2}, \qquad AC \perp BD.$$
Опустим перпендикуляры $$OE \perp AB$$ и $$OF \perp CD$$. Так как $$AB \parallel CD$$, точки $$E, O, F$$ лежат на одной прямой, поэтому искомое расстояние между сторонами ромба равно $$EF$$.
Рассмотрим прямоугольные треугольники $$AOE$$ и $$AOD$$. У них
$$\angle AEO=\angle ADO=90^\circ,$$
а угол $$\angle EAO$$ равен углу $$\angle OAD$$, значит, треугольники подобны. Отсюда
$$\frac{OE}{OD}=\frac{AO}{AD}, \qquad OE=\frac{AO\cdot OD}{AD}.$$
Найдём $$AD$$ по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $$AOD$$:
$$AD=\sqrt{AO^2+OD^2} =\sqrt{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2+\left(\frac{d_2}{2}\right)^2} =\frac{1}{2}\sqrt{d_1^2+d_2^2}.$$
Тогда
$$OE=\frac{\frac{d_1}{2}\cdot \frac{d_2}{2}}{\frac{1}{2}\sqrt{d_1^2+d_2^2}} =\frac{d_1d_2}{2\sqrt{d_1^2+d_2^2}}.$$
Так как $$OE=OF$$, то
$$EF=OE+OF=2OE=\frac{d_1d_2}{\sqrt{d_1^2+d_2^2}}.$$
Ответ
$$\frac{d_1d_2}{\sqrt{d_1^2+d_2^2}}$$
