Упр.10.34 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Докажите, что векторы $$\vec a=(m;n)$$ и $$\vec b=(-n;m)$$ перпендикулярны или равны нулю.

Найдём скалярное произведение векторов $$\vec a=(m;n)$$ и $$\vec b=(-n;m)$$:

$$\vec a\cdot \vec b=m\cdot(-n)+n\cdot m=-mn+nm=0.$$

Если оба вектора ненулевые, то из равенства $$\vec a\cdot \vec b=|\vec a|\cdot|\vec b|\cos\varphi$$ получаем

$$\cos\varphi=\frac{\vec a\cdot \vec b}{|\vec a|\cdot|\vec b|}=0,$$

значит, $$\varphi=90^\circ$$, то есть векторы перпендикулярны.

Если же хотя бы один из векторов равен нулю, то утверждение также выполнено.

Ответ: $$\vec a\perp \vec b$$ или один из векторов равен нулю.