Упр.6.34 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. 6-34. Докажите, что если диагональ параллелограмма является биссектрисой его углов, то он является ромбом.

Пусть $$ABCD$$ — данный параллелограмм, у которого диагональ $$AC$$ является биссектрисой углов $$A$$ и $$C$$. Тогда

$$\angle BAC=\angle CAD,\qquad \angle BCA=\angle ACD.$$

Так как в параллелограмме противолежащие углы равны, то $$\angle BAC=\angle ACD$$ и $$\angle CAD=\angle BCA$$. Следовательно, треугольники $$ABC$$ и $$CDA$$ равнобедренные с основанием $$AC$$.

Из равенства этих треугольников по второму признаку получаем:

$$AB=BC,\qquad CD=DA.$$

Но в параллелограмме также $$AB=CD$$ и $$BC=DA$$. Значит,

$$AB=BC=CD=DA.$$

Итак, у параллелограмма все стороны равны, следовательно, он является ромбом.

Ответ

Если диагональ параллелограмма является биссектрисой его углов, то этот параллелограмм — ромб.