Упр.10.34 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 8 класс, Просвещение: 34. Докажите, что векторы а (m; n) и b (-n;m) перпендикулярны или равны нулю.

Подробный ответ

Найдём скалярное произведение векторов $$\vec a=(m;n)$$ и $$\vec b=(-n;m)$$:

$$\vec a\cdot \vec b=m\cdot(-n)+n\cdot m=-mn+nm=0.$$

Если хотя бы один из векторов равен нулю, то утверждение уже выполнено. Пусть оба вектора ненулевые. Тогда по формуле для скалярного произведения

$$\vec a\cdot \vec b=|\vec a|\cdot|\vec b|\cdot \cos\varphi,$$

где $$\varphi$$ — угол между векторами. Так как $$\vec a\cdot \vec b=0,$$ получаем

$$|\vec a|\cdot|\vec b|\cdot \cos\varphi=0.$$

Поскольку $$|\vec a| \neq 0$$ и $$|\vec b| \neq 0,$$ то

$$\cos\varphi=0,$$

значит, $$\varphi=90^\circ.$$ Следовательно, векторы $$\vec a$$ и $$\vec b$$ перпендикулярны.