Упр.10.33 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Найдите углы треугольника с вершинами $$A(0;\sqrt{3})$$, $$B(2;\sqrt{3})$$, $$C\left(\frac{3}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$.

Найдём углы треугольника по координатам его вершин.

Сначала вычислим векторы сторон, выходящих из точки $$A$$:

$$\overrightarrow{AB}=(2-0;\sqrt3-\sqrt3)=(2;0),$$

$$\overrightarrow{AC}=\left(\frac32-0;-\frac{\sqrt3}{2}-\sqrt3\right)=\left(\frac32;-\frac{3\sqrt3}{2}\right).$$

Их длины равны:

$$|AB|=\sqrt{2^2+0^2}=2,$$

$$|AC|=\sqrt{\left(\frac32\right)^2+\left(-\frac{3\sqrt3}{2}\right)^2} =\sqrt{\frac94+\frac{27}{4}} =\sqrt{\frac{36}{4}}=3.$$

По формуле скалярного произведения:

$$\cos \angle A=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}{|AB|\cdot |AC|}.$$

Тогда

$$\cos \angle A=\frac{2\cdot \frac32+0\cdot \left(-\frac{3\sqrt3}{2}\right)}{2\cdot 3} =\frac{3}{6}=\frac12,$$

значит, $$\angle A=60^\circ.$$

Теперь найдём угол $$B$$:

$$\overrightarrow{BA}=(-2;0),$$

$$\overrightarrow{BC}=\left(\frac32-2;-\frac{\sqrt3}{2}-\sqrt3\right) =\left(-\frac12;-\frac{3\sqrt3}{2}\right).$$

Длины:

$$|BA|=2,$$

$$|BC|=\sqrt{\left(-\frac12\right)^2+\left(-\frac{3\sqrt3}{2}\right)^2} =\sqrt{\frac14+\frac{27}{4}} =\sqrt{\frac{28}{4}}=\sqrt7.$$

Тогда

$$\cos \angle B=\frac{\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}}{|BA|\cdot |BC|} =\frac{(-2)\cdot \left(-\frac12\right)+0\cdot \left(-\frac{3\sqrt3}{2}\right)}{2\sqrt7} =\frac{1}{2\sqrt7}.$$

Следовательно, $$\angle B \approx 79^\circ 6′.$$

Осталось найти угол $$C$$:

$$\angle C=180^\circ-\angle A-\angle B=180^\circ-60^\circ-79^\circ 6′ = 40^\circ 54′.$$

Ответ: $$\angle A=60^\circ,\ \angle B\approx 79^\circ 6′,\ \angle C\approx 40^\circ 54′.$$