Упр.9.33 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

32. Докажите, что лучи $$\overrightarrow{BA}$$ и $$\overrightarrow{CD}$$ противоположно направлены, если точки $$A$$ и $$D$$ лежат по разные стороны от секущей $$BC$$.

Подвергнем луч $$CD$$ параллельному переносу так, чтобы точка $$C$$ перешла в точку $$B$$.

При таком переносе прямая $$CD$$ совместится с прямой, проходящей через $$B$$ и параллельной $$CD$$. Но так как $$AB \parallel CD$$ и через точку $$B$$ проходит прямая $$AB$$, то образ прямой $$CD$$ совпадёт с прямой $$AB$$.

Тогда точка $$D$$ перейдёт в некоторую точку на прямой $$AB$$. Поскольку точки $$A$$ и $$D$$ лежат по разные стороны от секущей $$BC$$, эта точка лежит на прямой $$AB$$ по другую сторону от $$B$$, чем точка $$A$$. Значит, луч $$BD$$ является дополнительным к лучу $$BA$$.

Но при переносе луч $$CD$$ переходит в луч $$BD$$, следовательно, лучи $$BA$$ и $$CD$$ противоположно направлены.