Упр.3.33 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Два отрезка $$AB$$ и $$CD$$ пересекаются в точке $$O$$, которая является серединой каждого из них. Докажите равенство треугольников $$ACB$$ и $$BDC$$.

Рассмотрим треугольники $$AOC$$ и $$BOD$$. Так как точки $$A, O, B$$ лежат на одной прямой, а точки $$C, O, D$$ — на другой, то углы $$\angle COA$$ и $$\angle BOD$$, а также $$\angle AOC$$ и $$\angle DOB$$ — вертикальные. Следовательно,

$$\angle COA=\angle BOD,\qquad \angle AOC=\angle DOB.$$

По условию $$AO=OB$$ и $$CO=OD$$. Значит, треугольники $$AOC$$ и $$BOD$$ равны по двум сторонам и углу между ними:

$$\triangle AOC \cong \triangle BOD.$$

Отсюда получаем

$$AC=BD.$$

Аналогично рассмотрим треугольники $$AOD$$ и $$BOC$$. У них

$$AO=OB,\qquad OD=OC,$$

а углы $$\angle AOD$$ и $$\angle BOC$$ — вертикальные, значит, равны. Поэтому

$$\triangle AOD \cong \triangle BOC,$$

и, следовательно,

$$AD=BC.$$

Теперь в треугольниках $$ACD$$ и $$BDC$$ имеем:

$$AC=BD,\qquad AD=BC,\qquad CD=CD.$$

Следовательно,

$$\triangle ACD \cong \triangle BDC$$

по трём сторонам.

Ответ

$$\triangle ACD \cong \triangle BDC.$$