Упр.13.33 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Равнобокая трапеция описана около окружности с радиусом $$12\ \text{дм}$$. Точка касания делит её боковую сторону в отношении $$9:4$$. Найдите среднюю линию трапеции.
Пусть $$ABCD$$ — данная равнобокая трапеция с основаниями $$AD$$ и $$BC$$, а боковые стороны равны $$AB=CD=c$$.
Так как трапеция описана около окружности, то сумма оснований равна сумме боковых сторон:
$$AD+BC=AB+CD=2c.$$
Следовательно, средняя линия трапеции равна
$$m=\frac{AD+BC}{2}=\frac{2c}{2}=c,$$
то есть она равна боковой стороне трапеции.
Обозначим через $$O$$ центр вписанной окружности, а через $$E$$ — точку касания окружности со стороной $$AB$$. Тогда $$OE\perp AB$$ и $$OE=r=12$$ дм.
Точка касания делит боковую сторону в отношении $$9:4$$, значит
$$AE:EB=9:4.$$
Пусть $$AE=9x$$, $$EB=4x$$. Тогда в прямоугольном треугольнике $$AOB$$ высота $$OE$$ к гипотенузе $$AB$$ удовлетворяет соотношению
$$OE^2=AE\cdot EB.$$
Подставим значения:
$$12^2=9x\cdot 4x,$$
$$144=36x^2,$$
$$x=2.$$
Тогда
$$AB=AE+EB=9x+4x=13x=26$$ дм.
Так как средняя линия равна боковой стороне, получаем
$$m=26$$ дм.
Ответ: $$26$$ дм.
