Упр.6.33 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: если у параллелограмма диагонали перпендикулярны, то
он является ромбом;
1) Пусть ABCD-данный параллелограмм, у которого диагонали AC и
BD перепендкулярны и пересекаются в точке O, тогда по свойству
параллелограмма: AO=OC и BO=OD;
2) Прямоугольные треугольники AOB, BOC, COD и DOA равны по двум
катетам, отсюда следует равенство их гипотенуз: AB=BC=CD=DA;
3) Так как у параллелограмма ABCD все стороны равны, то он является
ромбом (по определению), что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Пусть $$ABCD$$ — данный параллелограмм, а его диагонали $$AC$$ и $$BD$$ пересекаются в точке $$O$$. По свойству параллелограмма диагонали делятся точкой пересечения пополам, значит

$$AO=OC,\qquad BO=OD.$$

Так как диагонали перпендикулярны, то $$AC \perp BD$$, следовательно, углы $$AOB$$, $$BOC$$, $$COD$$ и $$DOA$$ — прямые. Тогда прямоугольные треугольники $$AOB$$ и $$BOC$$ равны по двум катетам:

$$AO=OC,\qquad BO=BO.$$

Отсюда $$AB=BC$$. Аналогично равны треугольники $$BOC$$ и $$COD$$, поэтому $$BC=CD$$. Также из равенства $$COD$$ и $$DOA$$ получаем $$CD=DA$$.

Итак,

$$AB=BC=CD=DA.$$

Следовательно, все стороны параллелограмма равны, значит, он является ромбом.