Упр.11.33 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что биссектрисы треугольника $$DEF$$ в задаче 32 лежат на высотах треугольника $$ABC$$.

Из решения предыдущей задачи имеем:

$$\angle CDE=\angle BDF=\angle A,$$

$$\angle AED=\angle CED=\angle B,$$

$$\angle AFE=\angle BFD=\angle C,$$

а также

$$\angle D=180^\circ-2\angle A,$$

$$\angle E=180^\circ-2\angle B,$$

$$\angle F=180^\circ-2\angle C.$$

Рассмотрим высоту $$AD$$.

Так как $$AD\perp BC,$$ то

$$\angle ADE=\angle ADC-\angle CDE=90^\circ-\angle A.$$

С другой стороны,

$$\angle D=180^\circ-2\angle A,$$

значит

$$\angle ADE=\frac12\angle D.$$

Следовательно, биссектриса угла $$D$$ лежит на высоте $$AD$$.

Аналогично для высоты $$BE$$:

$$\angle BEF=\angle BEA-\angle AEF=90^\circ-\angle B,$$

и так как

$$\angle E=180^\circ-2\angle B,$$

то

$$\angle BEF=\frac12\angle E.$$

Значит, биссектриса угла $$E$$ лежит на высоте $$BE$$.

Рассмотрим высоту $$CF$$:

$$\angle CFE=\angle CFA-\angle AFE=90^\circ-\angle C,$$

а поскольку

$$\angle F=180^\circ-2\angle C,$$

то

$$\angle CFE=\frac12\angle F.$$

Следовательно, биссектриса угла $$F$$ лежит на высоте $$CF$$.

Таким образом, все биссектрисы треугольника $$DEF$$ лежат на высотах треугольника $$ABC$$, что и требовалось доказать.