Упр.11.32 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. В остроугольном треугольнике $$ABC$$ проведены высоты $$AD, BE, CF$$. Найдите углы треугольника $$DEF$$, зная углы треугольника $$ABC$$ (рис. 260).

Рассмотрим треугольники, образованные основаниями высот.

Так как $$AD \perp BC,$$ $$BE \perp AC,$$ $$CF \perp AB,$$ то

$$\angle AFE=\angle C,\qquad \angle AEF=\angle B,$$

следовательно, $$\triangle AEF \sim \triangle ABC.$$ Отсюда

$$\angle AFE=\angle C,\qquad \angle AEF=\angle B.$$

Аналогично

$$\triangle BDF \sim \triangle BAC,$$ поэтому

$$\angle BFD=\angle C,\qquad \angle BDF=\angle A,$$

и

$$\triangle CDE \sim \triangle CBA,$$ значит

$$\angle CDE=\angle A,\qquad \angle CED=\angle B.$$

Теперь найдём углы треугольника $$DEF$$:

$$\angle D=\angle CBD-\angle CDE-\angle BDF=180^\circ-2\angle A,$$

$$\angle E=\angle AEC-\angle AEF-\angle CED=180^\circ-2\angle B,$$

$$\angle F=\angle AFD-\angle AFE-\angle BFD=180^\circ-2\angle C.$$

Ответ: $$\angle D=180^\circ-2\angle A,\quad \angle E=180^\circ-2\angle B,\quad \angle F=180^\circ-2\angle C.$$