Упр.6.32 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: в равнобедренный прямоугольный треугольник вписан прямо-
угольник так, что две его вершины лежат на гипотенузе, а две другие
вершины-на катетах; стороны прямоугольника относятся как 5:2, а
гипотенуза треугольника равна 45 см;
Найти: стороны прямоугольника;
Решение:
1) Пусть ABC-данный треугольник, у которого угол B=90°, AB=BC и
AC=45 см, а FEA1 C1-вписанный в него прямоугольник;
2) Так как треугольник ABC прямоугольный и равнобедренный, то:
угол A = углу C=(180°-90°)/2=45°;
3) FEA1 C1-прямоугольник, значит: C1 F перпендикулярен FE и A1 E перпендикулярен EF;
4) Рассмотрим прямоугольный треугольник AFC1:
угол F=90° и угол A=45°, значит угол C1=90°-45°=45°, следовательно
этот треугольник равноберенный, отсюда AF=FC1;
5) Рассмотрим прямоугольный треугольник CEA1:
угол E=90° и угол C=45°, значит угол A1=90°-45°=45°, следовательно
этот треугольник равноберенный, отсюда CE=EA1;
6) Примем единичный отрезок за x, тогда стороны FEA1 C1 равны:
C1 F=EA1=2x и C1 A1=FE=5x;
7) AC=AF+FE+EC=C1 F+FE+EA1=2x+5x+2x=9x;
9x=45, отсюда x=45/9=5 см;
8) C1 F=EA1=2•5=10 см и C1 A1=FE=5•5=25 см;
Ответ: 10 см и 25 см.

Подробный ответ

Пусть $$ABC$$ — данный равнобедренный прямоугольный треугольник, где $$\angle B=90^\circ$$, $$AB=BC$$, $$AC=45$$ см. В него вписан прямоугольник $$FEA_1C_1$$ так, что $$C_1F$$ и $$EA_1$$ лежат на катетах, а $$FE$$ — на гипотенузе.

Так как треугольник $$ABC$$ равнобедренный и прямоугольный, то

$$\angle A=\angle C=\frac{180^\circ-90^\circ}{2}=45^\circ.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AFC_1$$. У него $$\angle F=90^\circ$$ и $$\angle A=45^\circ$$, значит $$\angle C_1=45^\circ$$. Следовательно, треугольник $$AFC_1$$ равнобедренный, поэтому

$$AF=C_1F.$$

Аналогично, в прямоугольном треугольнике $$CEA_1$$ имеем $$\angle E=90^\circ$$ и $$\angle C=45^\circ$$, значит $$\angle A_1=45^\circ$$, откуда

$$CE=EA_1.$$

Пусть меньшая сторона прямоугольника равна $$2x$$, а большая — $$5x$$. Тогда

$$C_1F=EA_1=2x,\qquad FE=C_1A_1=5x.$$

Так как $$AC=AF+FE+EC$$, получаем

$$AC=C_1F+FE+EA_1=2x+5x+2x=9x.$$

Но $$AC=45$$ см, значит

$$9x=45,\qquad x=5.$$

Тогда стороны прямоугольника равны

$$2x=10\text{ см},\qquad 5x=25\text{ см}.$$