Упр.5.32 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
Построить: треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к
третьей стороне;
Построение:
1) Пусть даны отрезки a и b, равные сторонам треугольника и
отрезок m, равный медиане треугольника.
2) Отметим на произвольной прямой точку M;
3) Из точки m проведем окружность радиуса m, отметим точки C и C1
на пересечении этой окружности и прямой;
4) Из точки C1 проведем окружность радиуса b, а из точки C проведем
окружность радиуса a, отметим точку B на пересечении этих окруж-
ностей;
5) Из точки M проведем окружность радиуса BM и отметим точку A
на пересечении этой окружности и прямой BM;
Пусть даны отрезки $$a$$ и $$b$$, равные двум сторонам треугольника, и отрезок $$m$$, равный медиане к третьей стороне.
1) На произвольной прямой отметим точку $$M$$ и отложим на ней отрезок $$C_1C_2$$ так, чтобы $$MC_1=MC_2=m$$. Тогда точка $$M$$ будет серединой отрезка $$C_1C_2$$.
2) Из точки $$C_1$$ проведём окружность радиуса $$b$$, а из точки $$C_2$$ — окружность радиуса $$a$$. Обозначим одну из точек их пересечения через $$B$$.
3) Соединим $$B$$ с $$M$$ и на прямой $$BM$$ отметим точку $$A$$ так, чтобы $$AM=BM$$. Тогда $$M$$ — середина отрезка $$AB$$.
4) Так как $$M$$ является серединой и отрезка $$AB$$, и отрезка $$C_1C_2$$, то в четырёхугольнике $$AC_1BC_2$$ диагонали $$AB$$ и $$C_1C_2$$ пересекаются и делятся пополам. Следовательно, $$AC_1BC_2$$ — параллелограмм.
Отсюда $$AC_1 \parallel BC_2$$ и $$AC_1=BC_2$$. Но $$BC_2=a$$ по построению, значит $$AC_1=a$$.
Кроме того, $$BC_1=b$$ по построению. Следовательно, в треугольнике $$ABC$$ выполнено:
$$AB=2BM,\qquad AC=a,\qquad BC=b,$$
а точка $$M$$ — середина стороны $$AB$$, значит отрезок $$CM$$ является медианой к стороне $$AB$$. Построенный треугольник удовлетворяет условию задачи.
Ответ
Треугольник построен: сначала строят отрезок $$C_1C_2$$ с серединой $$M$$, затем по окружностям радиусов $$a$$ и $$b$$ находят точку $$B$$, после чего на прямой $$BM$$ откладывают точку $$A$$ так, чтобы $$AM=BM$$.
