Упр.3.32 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Точки $$A$$, $$B$$, $$C$$, $$B$$ лежат на одной прямой. Докажите, что если треугольники $$ABE_1$$ и $$ABE_2$$ равны, то треугольники $$CDE_1$$ и $$CDE_2$$ тоже равны (рис. 65).

Подробный ответ

Так как $$\triangle ABE_1 \cong \triangle ABE_2,$$ то

$$BE_1=BE_2,\qquad \angle ABE_1=\angle ABE_2.$$

Точки $$A,\ B,\ C,\ D$$ лежат на одной прямой, поэтому углы $$\angle CBE_1$$ и $$\angle CBE_2$$ являются смежными с равными углами $$\angle ABE_1$$ и $$\angle ABE_2.$$ Следовательно,

$$\angle CBE_1=\angle CBE_2.$$

Рассмотрим треугольники $$CBE_1$$ и $$CBE_2.$$ У них

$$CB$$ — общая сторона, $$BE_1=BE_2,$$ $$\angle CBE_1=\angle CBE_2.$$

Значит, $$\triangle CBE_1 \cong \triangle CBE_2$$ по первому признаку, откуда

$$CE_1=CE_2,$$

а также

$$\angle BCE_1=\angle BCE_2.$$

Теперь углы $$\angle CE_1D$$ и $$\angle CE_2D$$ смежные с равными углами $$\angle BCE_1$$ и $$\angle BCE_2,$$ значит

$$\angle CE_1D=\angle CE_2D.$$

Рассмотрим треугольники $$CDE_1$$ и $$CDE_2.$$ Имеем

$$CD$$ — общая сторона, $$CE_1=CE_2,$$ $$\angle CE_1D=\angle CE_2D.$$

Следовательно, $$\triangle CDE_1 \cong \triangle CDE_2$$ по первому признаку.