Упр.13.32 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Докажите, что около равнобокой трапеции можно описать окружность. Верно ли обратное утверждение?

Пусть $$ABCD$$ — равнобокая трапеция с основаниями $$AD$$ и $$BC$$.

У равнобокой трапеции углы при каждом основании равны, значит

$$\angle A=\angle D,\qquad \angle B=\angle C.$$

Тогда

$$\angle A+\angle C=\angle D+\angle B.$$

Следовательно, сумма противоположных углов четырёхугольника равна $$180^\circ$$, значит около трапеции $$ABCD$$ можно описать окружность.

Обратно, пусть около трапеции $$ABCD$$ с основаниями $$AD$$ и $$BC$$ можно описать окружность. Тогда для вписанного четырёхугольника

$$\angle A+\angle C=180^\circ.$$

Так как $$AD \parallel BC$$, то при секущей $$CD$$ имеем

$$\angle C+\angle D=180^\circ.$$

Из двух равенств получаем

$$\angle A=\angle D.$$

Проведём через точку $$C$$ прямую, параллельную $$AB$$, и обозначим точку её пересечения с прямой $$AD$$ через $$E$$. Тогда четырёхугольник $$ABCE$$ — параллелограмм, поэтому

$$AB=CE.$$

Кроме того, так как $$AB \parallel CE$$, то

$$\angle A=\angle CED.$$

Но $$\angle A=\angle D$$, значит

$$\angle D=\angle CED.$$

Следовательно, треугольник $$CED$$ равнобедренный, и потому

$$CE=CD.$$

Тогда

$$AB=CE=CD,$$

то есть боковые стороны трапеции равны. Значит, трапеция $$ABCD$$ равнобокая.

Ответ: да, около равнобокой трапеции можно описать окружность; и наоборот, если около трапеции можно описать окружность, то она равнобокая.