Упр.10.31 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

30. Найдите угол между векторами $$\vec{a}$$ и $$\vec{a}+\vec{b}$$.

Скалярное произведение векторов $$\vec a$$ и $$\vec a+\vec b$$ равно

$$\vec a\cdot(\vec a+\vec b)=\vec a\cdot\vec a+\vec a\cdot\vec b=|\vec a|^2+|\vec a||\vec b|\cos 60^\circ.$$

Так как $$|\vec a|=1$$ и $$|\vec a+\vec b|=\sqrt3,$$ получаем

$$\vec a\cdot(\vec a+\vec b)=1^2+1\cdot1\cdot\frac12=\frac32.$$

Пусть угол между векторами $$\vec a$$ и $$\vec a+\vec b$$ равен $$\varphi.$$ Тогда

$$\vec a\cdot(\vec a+\vec b)=|\vec a|\cdot|\vec a+\vec b|\cos\varphi,$$

откуда

$$\cos\varphi=\frac{\vec a\cdot(\vec a+\vec b)}{|\vec a|\cdot|\vec a+\vec b|}=\frac{\frac32}{1\cdot\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Следовательно, $$\varphi=30^\circ.$$

Ответ: $$30^\circ$$.