Упр.4.31 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Найти: под каким углом пересекаются биссектрисы двух внутренних
односторонних углов при параллельных прямых;
Решение:
1) Пусть прямые AB и CD-параллельны, а прямая BC-пересекает
их в точках B и C;
3) Проведем биссектрисы BM и CM углов ABC и BCD, тогда:
угол MBC=1/2 угол ABC и угол BCM=1/2 угол BCD;
3) Сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых
равна 180°, значит:
угол ABC+ угол BCD=180°;
2угол MBC+2угол BCM=180°;
2(угол MBC+ угол BCM)=180°, отсюда (угол MBC+ угол BCM)=90°;
4) Рассмотрим треугольник BCM:
угол BMC+ угол MBC+ угол BCM=180°;
угол BMC=180°-(угол MBC+ угол BCM)=180°-90°=90°;
5) Таким образом, лучи BM и CM пересекаются под прямым углом;
Ответ: под прямым.

Подробный ответ

Пусть прямые $$AB$$ и $$CD$$ параллельны, а прямая $$BC$$ пересекает их в точках $$B$$ и $$C$$. Проведём биссектрисы $$BM$$ и $$CM$$ углов $$ABC$$ и $$BCD$$.

Тогда

$$\angle MBC=\frac{1}{2}\angle ABC,\qquad \angle BCM=\frac{1}{2}\angle BCD.$$

Сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых равна $$180^\circ$$, значит

$$\angle ABC+\angle BCD=180^\circ.$$

Умножим это равенство на $$\frac12$$:

$$\angle MBC+\angle BCM=90^\circ.$$

Рассмотрим треугольник $$BCM$$. В нём

$$\angle BMC=180^\circ-(\angle MBC+\angle BCM)=180^\circ-90^\circ=90^\circ.$$

Следовательно, биссектрисы пересекаются под прямым углом.