Упр.15.31 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: сторона основания правильной n-угольной пирамиды равна a,
а боковое ребро равно b;
Найти: высоту пирамиды;
Решение:
Пусть AB-одна из сторон основания и точка O-центр основания:
AB=a и AO=OB=R-радиус окружности описанной около
основания;
Найдем длину отрезка AO:
AO=R=a/(2•sin(180°)/n);
Построим в точке O перпендикуляр к плоскости основания;
Вершина P пирамиды равноудалена от всех вершин основания, значит
она будет находиться на этом перпендикуляре, тогда:
PO=h-высота пирамиды и PA=b;
В прямоугольном треугольнике AOP по теореме Пифагора:
h=PO=v(PA^2-AO^2)=v(b^2-a^2/(4•sin^2(180°)/n));

Подробный ответ

Пусть $$AB$$ — сторона основания, $$O$$ — центр основания правильной пирамиды, $$P$$ — её вершина. Тогда $$AB=a$$, $$PA=b$$, а $$PO=h$$ — высота пирамиды.

Так как основание — правильный $$n$$-угольник, то радиус описанной около него окружности равен

$$ AO=R=\frac{a}{2\sin\frac{180^\circ}{n}}. $$

В правильной пирамиде вершина находится на перпендикуляре, проведённом через центр основания, поэтому $$PO\perp$$(плоскости основания), а треугольник $$AOP$$ прямоугольный. По теореме Пифагора:

$$ h=PO=\sqrt{PA^2-AO^2} =\sqrt{b^2-\left(\frac{a}{2\sin\frac{180^\circ}{n}}\right)^2} =\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4\sin^2\frac{180^\circ}{n}}}. $$

Теперь подставим значения $$n$$.

1) Треугольная пирамида ($$n=3$$):

$$ h=\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4\sin^2 60^\circ}} =\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4\cdot \left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2}} =\sqrt{b^2-\frac{a^2}{3}}. $$

2) Четырёхугольная пирамида ($$n=4$$):

$$ h=\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4\sin^2 45^\circ}} =\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4\cdot \left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2}} =\sqrt{b^2-\frac{a^2}{2}}. $$

3) Шестиугольная пирамида ($$n=6$$):

$$ h=\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4\sin^2 30^\circ}} =\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4\cdot \left(\frac12\right)^2}} =\sqrt{b^2-a^2}. $$