Упр.13.31 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Построить: описанный около окружности правильный треугольник,
квадрат, правильный восьмиугольник;
Построение:
I) Опишем правильный треугольник:
1) У правильного шестиугольника центральный угол равен (360°)/6=60°,
значит радиус описанной окружности равен его стороне;
2) Возьмем на окружности произвольную точку B1, из нее как из центра
радиусом, равным радиусу окружности, делаем засечку и получаем
вершину B2;
3) Затем аналогично построим остальные вершины B3, B4, B5, A6 и
последовательно соединим их отрезками:
4) B1 B2 B3 B4 B5 B6-правильный шестиугольник;
5) Построим перепендикулярные прямые к отрезкам OB1, OB3 и OB5
через точки B1, B3 и B5 соответственно, отметим точки A1, A2 и A3 на
каждом из пересечений этих прямых друг с другом;
6) A1 A2 A3-правильный треугольник, описанный около окружности:
II) Опишем квадрат:
1) У квадрата центральный угол равен (360°)/4=90°, значит его диагонали
перпендикулярны;
2) Построим диаметр окружности A1 C1 и через центр O окружности
проведем, перпендикулярную ему прямую, которая пересечет окружность
в точках B1 и D1;
3) Четырехугольник A1 B1 C1 D1 является квадратом, построим через
каждую его вершину прямую, перпендикулярную диагонали, исходящей
из этой вершины, и отметим точки A, B, C, D на пересечениях всех этих
прямых друг с другом;
4) ABCD-правильный квадрат, описанный около окружности:
III) Опишем правильный восьмиугольник:
1) Построим правильный вписанный четырехугольник B1 B3 B5 B7;
2) Для сторон B1 B3 и B3 B5 построим серединные перпендикуляры и
отметим точки B2, B4, B6 и B8 на пересечениях этих перпендикуляров с
окружностью;
3) B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8-правильный восьмиугольник, построим через
каждую его вершину перпендикуляр к отрезку, соединяющему эту
вершину с точкой O, и отметим точки A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8 на
пересечениях прямых проведенных через соседние вершины;
4) A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8-правильный восьмиугольник, описанный около
окружности

Подробный ответ

I) Правильный треугольник. Построим сначала правильный шестиугольник, вписанный в данную окружность. Для этого на окружности отметим произвольную точку $$B_1$$, затем, не изменяя раствор циркуля, последовательно отложим на окружности ещё пять равных хорд и получим точки $$B_2, B_3, B_4, B_5, B_6$$. Тогда $$B_1B_2B_3B_4B_5B_6$$ — правильный шестиугольник.

У правильного шестиугольника центральный угол равен $$\frac{360^\circ}{6}=60^\circ$$, поэтому его сторона равна радиусу окружности. Теперь через точки $$B_1, B_3, B_5$$ проведём прямые, перпендикулярные к радиусам $$OB_1, OB_3, OB_5$$ соответственно. Эти прямые попарно пересекутся в точках $$A_1, A_2, A_3$$. Получим треугольник $$A_1A_2A_3$$, описанный около окружности и являющийся правильным.

II) Квадрат. У правильного квадрата центральный угол равен $$\frac{360^\circ}{4}=90^\circ$$. Построим два взаимно перпендикулярных диаметра окружности: $$A_1C_1$$ и $$B_1D_1$$. Соединим их концы, получим вписанный квадрат $$A_1B_1C_1D_1$$.

Затем через каждую вершину этого квадрата проведём прямую, перпендикулярную соответствующей диагонали. Точки пересечения соседних таких прямых обозначим $$A, B, C, D$$. Тогда четырёхугольник $$ABCD$$ — квадрат, описанный около окружности.

III) Правильный восьмиугольник. Сначала построим правильный вписанный четырёхугольник $$B_1B_3B_5B_7$$. Для сторон $$B_1B_3$$ и $$B_3B_5$$ построим серединные перпендикуляры и отметим на окружности точки $$B_2, B_4, B_6, B_8$$. Тогда точки $$B_1, B_2, B_3, B_4, B_5, B_6, B_7, B_8$$ образуют правильный восьмиугольник, вписанный в окружность.

Через каждую его вершину проведём прямую, перпендикулярную радиусу, соединяющему эту вершину с центром $$O$$. Точки пересечения соседних таких прямых обозначим $$A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6, A_7, A_8$$. Получим правильный восьмиугольник, описанный около окружности.