Упр.8.31 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Найдите координаты точек пересечения двух окружностей: $$x^2+y^2=1$$, $$x^2+y^2-2x+y-2=0$$.

Точки пересечения лежат на обеих окружностях, значит их координаты удовлетворяют системе

$$\begin{cases} x^2+y^2=1,\\ x^2+y^2-2x+y-2=0. \end{cases}$$

Вычтем из второго уравнения первое:

$$-2x+y-2=-1,$$

откуда

$$y=2x+1.$$

Подставим это в первое уравнение:

$$x^2+(2x+1)^2=1.$$

Раскроем скобки:

$$x^2+4x^2+4x+1=1,$$

$$5x^2+4x=0,$$

$$x(5x+4)=0.$$

Следовательно,

$$x_1=0,\qquad x_2=-\frac45.$$

Найдём соответствующие ординаты:

$$y_1=2\cdot 0+1=1,$$

$$y_2=2\cdot\left(-\frac45\right)+1=-\frac85+\frac55=-\frac35.$$

Итак, точки пересечения окружностей:

$$(0;1)\ \text{и}\ \left(-\frac45;-\frac35\right).$$

Ответ: $$(0;1)$$ и $$\left(-\frac45;-\frac35\right)$$.