Упр.7.31 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

На прямолинейном шоссе требуется указать место автобусной остановки так, чтобы сумма расстояний от неё до населённых пунктов А и В была наименьшей. Рассмотрите два случая: 1) пункты расположены по разные стороны от шоссе (рис. 166, а); 2) пункты расположены по одну сторону от шоссе (рис. 166, б).

Если пункты $$A$$ и $$B$$ расположены по разные стороны от шоссе, то нужно провести отрезок $$AB$$. Точка его пересечения с прямой шоссе $$a$$ и будет искомой остановкой $$M$$, так как для любой точки $$M$$ на отрезке $$AB$$ выполняется

$$AM+MB=AB,$$

а отрезок $$AB$$ — кратчайшее расстояние между точками $$A$$ и $$B$$.

Если пункты $$A$$ и $$B$$ расположены по одну сторону от шоссе, то из точки $$B$$ опускают перпендикуляр $$BH$$ к прямой $$a$$ и на его продолжении откладывают $$HB’=BH$$. Затем проводят отрезок $$AB’$$; его пересечение с прямой $$a$$ обозначают через $$M$$.

Так как $$BH=HB’$$ и $$MH\perp BB’$$, то точка $$H$$ — середина отрезка $$BB’$$, а значит, $$MBB’$$ — равнобедренный треугольник и $$MB=MB’$$. Тогда

$$AM+MB=AM+MB’=AB’.$$

Следовательно, сумма расстояний от остановки до пунктов $$A$$ и $$B$$ будет наименьшей, если остановку поставить в точке $$M$$.

Ответ: в первом случае — в точке пересечения шоссе с отрезком $$AB$$; во втором случае — в точке пересечения шоссе с отрезком $$AB’$$, где $$B’$$ симметрична точке $$B$$ относительно шоссе.