Упр.5.31 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Постройте треугольник по стороне, медиане, проведённой к этой стороне, и радиусу описанной окружности.

Пусть даны отрезки $$a$$, $$m$$ и $$r$$, где $$a$$ — сторона треугольника, $$m$$ — медиана к этой стороне, $$r$$ — радиус описанной окружности.

1. Построим произвольную прямую и отложим на ней отрезок $$BC=a$$.
2. Построим середину отрезка $$BC$$. Для этого из точек $$B$$ и $$C$$ проведём окружности одинакового радиуса, большего $$\frac{a}{2}$$, и соединим точки их пересечения прямой. Эта прямая пересечёт $$BC$$ в точке $$M$$. Тогда $$M$$ — середина $$BC$$.
3. Через точку $$M$$ проведём прямую, перпендикулярную $$BC$$. На этой прямой отметим точку $$O$$ так, чтобы $$OM=r$$.
4. Проведём окружность с центром $$O$$ и радиусом $$r$$. Точка $$A$$ должна лежать на этой окружности, а также удовлетворять условию $$AM=m$$. Поэтому проведём окружность с центром $$M$$ и радиусом $$m$$.
5. Точку $$A$$ возьмём в пересечении построенных окружностей.
6. Соединим точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$. Получим искомый треугольник $$ABC$$.

Проверка: так как $$M$$ — середина $$BC$$, то $$AM$$ — медиана. Кроме того, $$OA=OB=OC=r$$, значит, точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ лежат на окружности с центром $$O$$, следовательно, $$r$$ — радиус описанной окружности треугольника $$ABC$$.