Упр.5.31 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Построить: треугольник по стороне, медиане, проведенной к этой
стороне, и радиусу описанной окружности;
Построение:
1) Пусть даны: отрезок a, равный стороне треугольника, отрезок m,
равный медиане треугольника и отрезок r, равный радиусу описанной
около треугольника окружности.
2) На произвольной прямой отметим отрезкок BC длины a;
3) Отметим середину отрезка BC, для чего:
— Из точек B и C проведем окружности с радиусом a:
— Проведем прямую через точки пересечения этих окружностей;
— На пересечении этой прямой и отрезка BC отметим точку M;
4) Точка M середина BC, так как она является пересечением этого
отрезка и проведенного к нему серединного перпендикуляра;
5) Из точки O проведем окружность радиуса r, отметим точку O на
пересечении этой окружности с серединным перпендикуляром к
отрезку BC;
6) Из точки O проведем окружность радиуса r, а из точки M проведем
окружность радиуса m, отметим точку A на их пересечении;
3) Треугольник ABC-искомый:

Подробный ответ

Пусть даны отрезки $$a$$, $$m$$ и $$r$$, где $$a$$ — сторона искомого треугольника, $$m$$ — медиана к этой стороне, $$r$$ — радиус описанной окружности.

1) Построим отрезок $$BC=a$$.

2) Найдём середину отрезка $$BC$$. Для этого из точек $$B$$ и $$C$$ проведём окружности одинакового радиуса, большего $$\frac{a}{2}$$. Пусть они пересекутся в точках $$P$$ и $$Q$$. Прямая $$PQ$$ — серединный перпендикуляр к $$BC$$, а точка $$M=PQ\cap BC$$ — середина отрезка $$BC$$.

3) Так как радиус описанной окружности равен $$r$$, то центр описанной окружности лежит на серединном перпендикуляре к хорде $$BC$$. Построим окружность радиуса $$r$$ с центром в точке $$M$$ и отметим на серединном перпендикуляре точку $$O$$ так, чтобы $$OM=r$$.

4) Проведём окружность с центром $$M$$ радиуса $$m$$. Точка $$A$$ должна удовлетворять условию $$AM=m$$, а также лежать на окружности радиуса $$r$$ с центром $$O$$, то есть $$OA=r$$. Поэтому точку $$A$$ найдём как точку пересечения окружностей с центрами $$M$$ и $$O$$ радиусов $$m$$ и $$r$$ соответственно.

5) Соединим точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$. Получим треугольник $$ABC$$.

Проверим построение: по построению $$BC=a$$, $$AM=m$$. Кроме того, точка $$O$$ — центр окружности, проходящей через $$A$$, $$B$$ и $$C$$, значит её радиус равен $$r$$. Следовательно, построенный треугольник удовлетворяет всем условиям.