Упр.10.31 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 8 класс, Просвещение: 31. Найдите угол между векторами а и а + b задачи 30. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 8 pogorelov7-9 10-31 76

Найдём скалярное произведение векторов $$\vec a$$ и $$\vec a+\vec b$$:

$$\vec a\cdot(\vec a+\vec b)=\vec a\cdot\vec a+\vec a\cdot\vec b=|\vec a|^2+|\vec a|\,|\vec b|\cos 60^\circ.$$

Так как $$|\vec a|=1$$ и $$|\vec a+\vec b|=\sqrt{3},$$ то

$$\vec a\cdot(\vec a+\vec b)=1^2+1\cdot 1\cdot \cos 60^\circ=1+\frac12=\frac32.$$

Пусть угол между векторами $$\vec a$$ и $$\vec a+\vec b$$ равен $$\varphi$$. Тогда

$$\vec a\cdot(\vec a+\vec b)=|\vec a|\cdot|\vec a+\vec b|\cos\varphi.$$

Подставим найденное значение:

$$\frac32=1\cdot\sqrt{3}\cos\varphi,$$

откуда

$$\cos\varphi=\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Следовательно,

$$\varphi=30^\circ.$$

Ответ

$$30^\circ$$