Упр.15.31 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
По данной стороне основания $$a$$ и боковому ребру $$b$$ найдите высоту правильной пирамиды:
- треугольной;
- четырёхугольной;
- шестиугольной.
Пусть $$AB$$ — сторона основания, $$O$$ — центр основания правильной пирамиды. Тогда $$AB=a$$, а $$AO=R$$ — радиус окружности, описанной около основания.
Для правильного $$n$$-угольника
$$R=\frac{a}{2\sin\frac{180^\circ}{n}}.$$
Вершина правильной пирамиды лежит на перпендикуляре, проведённом через центр основания, поэтому $$PO=h$$ — высота пирамиды, а $$PA=b$$ — боковое ребро. В прямоугольном треугольнике $$AOP$$ по теореме Пифагора:
$$h=\sqrt{PA^2-AO^2} =\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4\sin^2\frac{180^\circ}{n}}}.$$
Теперь подставим значения $$n$$.
Для правильной треугольной пирамиды $$n=3$$:
$$h=\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4\sin^2 60^\circ}} =\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4\cdot \frac{3}{4}}} =\sqrt{b^2-\frac{a^2}{3}}.$$
Для правильной четырёхугольной пирамиды $$n=4$$:
$$h=\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4\sin^2 45^\circ}} =\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4\cdot \frac{1}{2}}} =\sqrt{b^2-\frac{a^2}{2}}.$$
Для правильной шестиугольной пирамиды $$n=6$$:
$$h=\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4\sin^2 30^\circ}} =\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4\cdot \frac{1}{4}}} =\sqrt{b^2-a^2}.$$
Ответ: 1) $$\sqrt{b^2-\frac{a^2}{3}}$$; 2) $$\sqrt{b^2-\frac{a^2}{2}}$$; 3) $$\sqrt{b^2-a^2}$$.
