Упр.14.31 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Боковые стороны треугольника $$30\ \text{см}$$ и $$25\ \text{см}$$. Найдите высоту, опущенную на основание, равное: 1) $$25\ \text{см}$$; 2) $$11\ \text{см}$$.

Обозначим боковые стороны треугольника через $$a=30\text{ см}$$ и $$b=25\text{ см}$$, основание — через $$c$$, а высоту, опущенную на основание $$c$$, — через $$h_c$$.

По формуле Герона площадь треугольника равна

$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, \qquad p=\frac{a+b+c}{2}.$$

С другой стороны,

$$S=\frac{1}{2}ch_c,$$

откуда

$$h_c=\frac{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{c}.$$

1) Если $$c=25\text{ см},$$ то

$$p=\frac{30+25+25}{2}=40.$$

Тогда

$$h_c=\frac{2\sqrt{40\cdot(40-30)\cdot(40-25)\cdot(40-25)}}{25} =\frac{2\sqrt{40\cdot10\cdot15\cdot15}}{25}.$$

$$40\cdot10\cdot15\cdot15=40\cdot10\cdot225=90000,$$

значит

$$h_c=\frac{2\cdot300}{25}=\frac{600}{25}=24\text{ см}.$$

2) Если $$c=11\text{ см},$$ то

$$p=\frac{30+25+11}{2}=33.$$

Тогда

$$h_c=\frac{2\sqrt{33\cdot(33-30)\cdot(33-25)\cdot(33-11)}}{11} =\frac{2\sqrt{33\cdot3\cdot8\cdot22}}{11}.$$

Разложим подкоренное выражение:

$$33\cdot3\cdot8\cdot22=11\cdot3\cdot3\cdot2\cdot4\cdot2\cdot11,$$

поэтому

$$h_c=\frac{2\cdot3\cdot11\cdot2\cdot2}{11}=24\text{ см}.$$

Ответ: $$24\text{ см};\ 24\text{ см}.$$