Упр.13.31 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Опишите около окружности правильный треугольник, квадрат, правильный восьмиугольник.

Для построения правильного многоугольника, описанного около окружности, удобно сначала построить соответствующий правильный многоугольник, вписанный в эту окружность, а затем провести касательные в его вершинах.

1) Правильный треугольник

Построим на окружности правильный шестиугольник: его сторона равна радиусу окружности, так как центральный угол равен $$\frac{360^\circ}{6}=60^\circ.$$

Пусть получены точки $$B_1,B_2,B_3,B_4,B_5,B_6.$$ Тогда через точки $$B_1,\;B_3,\;B_5$$ проведём прямые, перпендикулярные радиусам $$OB_1,\;OB_3,\;OB_5.$$ Эти прямые попарно пересекутся в точках $$A_1,\;A_2,\;A_3.$$

Четырёхугольник $$A_1A_2A_3$$ является правильным треугольником, описанным около окружности.

2) Квадрат

У квадрата центральный угол равен $$\frac{360^\circ}{4}=90^\circ,$$ поэтому его вершины можно получить, построив два взаимно перпендикулярных диаметра окружности.

Проведём диаметр $$A_1C_1$$ и через центр $$O$$ — перпендикулярный ему диаметр, пересекающий окружность в точках $$B_1$$ и $$D_1.$$ Тогда $$A_1B_1C_1D_1$$ — вписанный квадрат.

Через каждую вершину этого квадрата проведём прямую, перпендикулярную радиусу, проведённому в точку касания. Точки пересечения соседних касательных обозначим $$A,\;B,\;C,\;D.$$ Тогда $$ABCD$$ — квадрат, описанный около окружности.

3) Правильный восьмиугольник

Сначала построим правильный вписанный четырёхугольник $$B_1B_3B_5B_7.$$ Затем для сторон $$B_1B_3$$ и $$B_3B_5$$ построим серединные перпендикуляры и отметим на окружности точки $$B_2,\;B_4,\;B_6,\;B_8.$$

Получим правильный восьмиугольник $$B_1B_2B_3B_4B_5B_6B_7B_8.$$ Через каждую его вершину проведём касательную к окружности, то есть прямую, перпендикулярную радиусу, проведённому в эту вершину. Точки пересечения соседних касательных обозначим $$A_1,A_2,A_3,A_4,A_5,A_6,A_7,A_8.$$

Тогда $$A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8$$ — правильный восьмиугольник, описанный около окружности.