Упр.13.30 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Построить: вписанный в окружность правильный 12- угольник;
Построение:
1) У правильного шестиугольника центральный угол равен (360°)/6=60°,
значит радиус описанной окружности равен его стороне;
2) Возьмем на окружности произвольную точку A1, из нее как из центра
радиусом, равным радиусу окружности, делаем засечку и получаем
вершину A3;
3) Затем аналогично построим остальные вершины A5, A7, A9, A11 и
последовательно соединим их отрезками:
4) A1 A3 A5 A7 A9 A11-правильный шестиугольник:
5) Для сторон A1 A3, A3 A5 и A5 A7 построим серединные перпендикуляры
и отметим точки A2, A4, A6, A8, A10, A12 на пересечениях этих перпенди-
куляров с окружностью;
6) Последовательно соединим все точки A1, A2, A3, …, A11 A12 отрезками;
7) A1 A2 A3…A12-правильный двенадцатиугольник

Подробный ответ

Построим сначала правильный шестиугольник, вписанный в данную окружность. Для правильного шестиугольника центральный угол равен

$$\frac{360^\circ}{6}=60^\circ.$$

Из свойства правильного шестиугольника следует, что его сторона равна радиусу окружности.

1) Возьмём на окружности произвольную точку $$A_1$$. Из точки $$A_1$$ как из центра радиусом, равным радиусу данной окружности, сделаем засечку на окружности и получим точку $$A_3$$.

2) Аналогично построим точки $$A_5, A_7, A_9, A_{11}$$ и последовательно соединим их отрезками. Получим правильный шестиугольник $$A_1A_3A_5A_7A_9A_{11}$$.

3) Теперь для сторон $$A_1A_3$$, $$A_3A_5$$, $$A_5A_7$$, $$A_7A_9$$, $$A_9A_{11}$$ и $$A_{11}A_1$$ построим серединные перпендикуляры. Точки их пересечения с окружностью обозначим соответственно $$A_2, A_4, A_6, A_8, A_{10}, A_{12}$$.

4) Соединим последовательно все точки $$A_1, A_2, A_3, \ldots, A_{11}, A_{12}$$.

Так как дуги между соседними вершинами равны, то равны и соответствующие центральные углы, а значит все стороны полученного многоугольника равны и все его углы равны. Следовательно, $$A_1A_2A_3\ldots A_{12}$$ — правильный двенадцатиугольник, вписанный в окружность.