Упр.7.30 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Отрезки $$AB$$ и $$CD$$ пересекаются в точке $$O$$.

а) Докажите, что сумма расстояний от любой точки плоскости до точек $$A$$, $$B$$, $$C$$ и $$D$$ не меньше, чем $$OA+OB+OC+OD$$.

Пусть $$X$$ — произвольная точка плоскости.

По неравенству треугольника для треугольника $$AXB$$ имеем

$$XA+XB\ge AB.$$

Аналогично, для треугольника $$CXD$$ получаем

$$XC+XD\ge CD.$$

Сложим эти неравенства:

$$XA+XB+XC+XD\ge AB+CD.$$

Так как отрезки $$AB$$ и $$CD$$ пересекаются в точке $$O$$, то

$$AB=OA+OB,\qquad CD=OC+OD.$$

Следовательно,

$$XA+XB+XC+XD\ge OA+OB+OC+OD.$$

Что и требовалось доказать.