Упр.3.30 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Доказать: у равнобедренного треугольника высоту, опущенная на
основание является медианой и биссектрисой;
Доказательство:
1) Пусть треугольник ABC-равнобедренный и BH-высота;
2) AB=BC (как боковые стороны), угол A = углу C и угол BHC = углу BHA=90°;
3) Сумма углов треугольника равна 180°, тогда для треугольник ABH и треугольник CBH:
угол ABH=180°- угол A- угол CHA=180°- угол C- угол BHC = углу CBH, значит
BH является биссектрисой треугольника ABC;
4) Треугольники ABH и CBH равны по первому признаку (BH-общая
сторона), отсюда AH=HC, то есть BH-является медианой треугольник ABC,
что и требовалось доказать,

Пусть $$\triangle ABC$$ — равнобедренный, причём $$AB=BC$$, а $$BH$$ — высота, опущенная на основание $$AC$$. Тогда $$\angle BHA=\angle BHC=90^\circ$$.

Рассмотрим треугольники $$ABH$$ и $$CBH$$. У них:

• $$AB=BC$$;
• $$BH$$ — общая сторона;
• $$\angle BHA=\angle BHC=90^\circ$$.

Следовательно, $$\triangle ABH \cong \triangle CBH$$ по двум сторонам и углу между ними.

Отсюда получаем:

• $$AH=HC$$, значит, $$BH$$ — медиана;
• $$\angle ABH=\angle HBC$$, значит, $$BH$$ — биссектриса.

Итак, высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, является и медианой, и биссектрисой.

Ответ

Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, является медианой и биссектрисой.