Упр.3.30 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Докажите, что у равнобедренного треугольника высота, опущенная на основание, является медианой и биссектрисой.

Пусть $$ABC$$ — равнобедренный треугольник, в котором $$AB=BC$$, а $$BH$$ — высота, опущенная на основание $$AC$$. Тогда $$\angle BHA=\angle BHC=90^\circ$$.

Рассмотрим треугольники $$ABH$$ и $$CBH$$. У них:

• $$AB=BC$$;
• $$BH$$ — общая сторона;
• $$\angle BHA=\angle BHC=90^\circ$$.

Следовательно, $$\triangle ABH \cong \triangle CBH$$ по двум сторонам и углу между ними.

Отсюда $$\angle ABH=\angle HBC$$, значит, $$BH$$ — биссектриса угла $$B$$.

Кроме того, из равенства треугольников получаем $$AH=HC$$. Значит, точка $$H$$ — середина основания $$AC$$, а следовательно, $$BH$$ — медиана.

Итак, высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, является и медианой, и биссектрисой.