Упр.5.3 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Докажите, что диаметр окружности, проходящий через середину хорды, перпендикулярен хорде.

Подробный ответ

Пусть $$AB$$ — хорда окружности, а $$C$$ — её середина. Обозначим центр окружности через $$O$$.

Тогда $$OA=OB$$ как радиусы одной окружности. Следовательно, треугольник $$AOB$$ равнобедренный.

Так как точка $$C$$ — середина отрезка $$AB$$, то $$OC$$ является медианой треугольника $$AOB$$, проведённой к основанию $$AB$$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является высотой. Значит,

$$OC \perp AB.$$

Но отрезок $$OC$$ лежит на диаметре, проходящем через середину хорды $$AB$$. Следовательно, этот диаметр перпендикулярен хорде $$AB$$.