Вопрос 3 Параграф 2 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: если два угла равны, то смежные с ними углы равны;
Доказательство:
1) Согласно теореме 2.1 сумма смежных углов равна 180°;
2) Пусть a1 a2 и b1 b2-равные углы, а a2 a3 и b2 b3-смежные с ними
углы, тогда: угол (a1 a2)+ угол (a2 a3)=180° и угол (b1 b2) = углу (b2 b3)=180°;
3) Найдем градусную меру углов (a2 a3) и (b2 b3):
угол (a2 a3)=180°- угол (a1 a2) и угол (b2 b3)=180°- угол (b1 b2);
4) Так как угол (a1 a2) = углу (b1 b2), то угол (a2 a3)=180°- угол (b2 b3) = углу (b2 b3),
что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Сумма смежных углов равна $$180^\circ$$.

Пусть $$\angle a_1a_2=\angle b_1b_2$$, а $$\angle a_2a_3$$ и $$\angle b_2b_3$$ — смежные с ними углы. Тогда

$$\angle a_1a_2+\angle a_2a_3=180^\circ,$$

$$\angle b_1b_2+\angle b_2b_3=180^\circ.$$

Отсюда

$$\angle a_2a_3=180^\circ-\angle a_1a_2,$$

$$\angle b_2b_3=180^\circ-\angle b_1b_2.$$

Так как $$\angle a_1a_2=\angle b_1b_2$$, то

$$\angle a_2a_3=180^\circ-\angle a_1a_2=180^\circ-\angle b_1b_2=\angle b_2b_3.$$

Следовательно, смежные с равными углами углы также равны.