Вопрос 3 Параграф 14 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: площадь параллелограмма равна произведению его стороны
на высоту, проведенную к этой стороне;
Доказательство:
1) Пусть ABCD-данный параллелограмм, у которого сторона AB
равна a, а проведенная к ней высота равна h;
2) Если он не является прямоугольником, то один из его углов A или B
острый, пусть для определенности угол A-острый;
3) Опустим перпендикуляр AE из вершины A на прямую CD, площадь
трапеции ABCE равна сумме площадей параллелограмма ABCD и
треугольника ADE:
SABCE=SABCD+SADE;
4) Опустим перпендикуляр BF из вершины B на прямую CD, тогда
площадь трапеции ABCE равна сумме площадей прямоугольника ABFE
и треугольника BCF:
SABCE=SABFE+SBCF;
5) Так как отрезки AE и BF равны расстоянию между параллельными
прямыми AB и CD, то они являются высотами параллелограмма ABCD,
опущенными на сторону AB:
AE=BF=h;
6) Рассмотрим параллельные прямые AD и BC и секущую DC:
угол ADE=угол BCF (как соответстенные углы);
7) Тогда прямоугольные треугольники ADE и BCF равны по катету и
противолежащему острому углу, значит они имеют равные площади:
SADE=SBCF;
8) Значит площади параллелограмма ABCD и прямоугольника ABFE
равны, то есть:
SABCD=SABFE=AB•BF=a•h, что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Пусть $$ABCD$$ — данный параллелограмм, $$AB=a$$, а высота, проведённая к стороне $$AB$$, равна $$h$$.

Если параллелограмм не является прямоугольником, то один из его углов $$A$$ или $$B$$ острый. Пусть, например, $$\angle A$$ — острый.

Опустим перпендикуляр $$AE$$ из вершины $$A$$ на прямую $$CD$$, а из вершины $$B$$ — перпендикуляр $$BF$$ на ту же прямую. Тогда четырёхугольник $$ABFE$$ — прямоугольник, а площадь трапеции $$ABCE$$ можно выразить двумя способами:

$$S_{ABCE}=S_{ABCD}+S_{ADE},$$

$$S_{ABCE}=S_{ABFE}+S_{BCF}.$$

Так как $$AB \parallel CD$$, то $$AE$$ и $$BF$$ — расстояния между параллельными прямыми $$AB$$ и $$CD$$, значит

$$AE=BF=h.$$

Рассмотрим параллельные прямые $$AD$$ и $$BC$$ и секущую $$DC$$. Тогда

$$\angle ADE=\angle BCF$$

как соответственные углы.

Следовательно, прямоугольные треугольники $$ADE$$ и $$BCF$$ равны по катету и прилежащему острому углу, поэтому их площади равны:

$$S_{ADE}=S_{BCF}.$$

Из равенства площадей трапеции получаем:

$$S_{ABCD}=S_{ABFE}.$$

Но $$ABFE$$ — прямоугольник, значит