Вопрос 3 Параграф 12 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 7 класс, Просвещение: 3. Докажите теорему синусов.

Пусть в треугольнике $$ABC$$ стороны, лежащие против углов $$\alpha,\ \beta,\ \gamma,$$ равны соответственно $$a,\ b,\ c.$$ Докажем, что

$$\frac{a}{\sin \alpha}=\frac{b}{\sin \beta}=\frac{c}{\sin \gamma}.$$

Опустим из вершины $$C$$ высоту $$CD$$ на прямую $$AB$$.

Рассмотрим сначала случай, когда угол $$A$$ острый. Тогда точка $$D$$ лежит на стороне $$AB$$. В прямоугольном треугольнике $$ACD$$

$$\sin \alpha=\frac{CD}{CA}=\frac{CD}{b},$$

откуда

$$CD=b\sin \alpha.$$

В прямоугольном треугольнике $$BCD$$

$$\sin \beta=\frac{CD}{CB}=\frac{CD}{a},$$

откуда

$$CD=a\sin \beta.$$

Следовательно,

$$b\sin \alpha=a\sin \beta,$$

то есть

$$\frac{a}{\sin \alpha}=\frac{b}{\sin \beta}.$$

Аналогично, опуская высоту из вершины $$A$$, получаем

$$\frac{b}{\sin \beta}=\frac{c}{\sin \gamma}.$$

Если угол $$A$$ тупой, то точка $$D$$ лежит на продолжении стороны $$AB$$. Тогда в прямоугольном треугольнике $$ACD$$

$$\sin(180^\circ-\alpha)=\frac{CD}{CA}.$$

Так как $$\sin(180^\circ-\alpha)=\sin \alpha,$$ то снова имеем

$$\sin \alpha=\frac{CD}{b}, \qquad CD=b\sin \alpha.$$

Далее, как и выше, получаем

$$CD=a\sin \beta,$$

значит,

$$\frac{a}{\sin \alpha}=\frac{b}{\sin \beta}.$$

Таким образом, во всех случаях

$$\frac{a}{\sin \alpha}=\frac{b}{\sin \beta}=\frac{c}{\sin \gamma}.$$

Ответ

Теорема синусов доказана: $$\frac{a}{\sin \alpha}=\frac{b}{\sin \beta}=\frac{c}{\sin \gamma}.$$