Вопрос 3 Параграф 11 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 7 класс, Просвещение: 3. Докажите, что гомотетия есть преобразование подобия.

Пусть $$O$$ — центр гомотетии, $$k$$ — её коэффициент, а $$X$$ и $$Y$$ — две произвольные точки фигуры.

При гомотетии точки $$X$$ и $$Y$$ переходят в точки $$X’$$ и $$Y’$$ на лучах $$OX$$ и $$OY$$ соответственно, причём

$$OX’=k\cdot OX,\qquad OY’=k\cdot OY.$$

Тогда для радиус-векторов получаем:

$$\overrightarrow{OX’}=k\cdot \overrightarrow{OX},\qquad \overrightarrow{OY’}=k\cdot \overrightarrow{OY}.$$

Вычтем почленно эти равенства:

$$\overrightarrow{OY’}-\overrightarrow{OX’}=k\bigl(\overrightarrow{OY}-\overrightarrow{OX}\bigr).$$

По правилу треугольника сложения векторов

$$\overrightarrow{OY’}-\overrightarrow{OX’}=\overrightarrow{X’Y’},\qquad \overrightarrow{OY}-\overrightarrow{OX}=\overrightarrow{XY}.$$

Следовательно,

$$\overrightarrow{X’Y’}=k\cdot \overrightarrow{XY}.$$

Значит,

$$X’Y’=k\cdot XY.$$

То есть все расстояния при гомотетии изменяются в одно и то же число раз, равное $$k$$. Следовательно, гомотетия есть преобразование подобия.

Ответ

Гомотетия является преобразованием подобия, так как при ней расстояния между соответствующими точками умножаются на один и тот же коэффициент $$k$$.