Вопрос 3 Параграф 11 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Докажите, что гомотетия есть преобразование подобия.
Пусть $$O$$ — центр гомотетии, $$k$$ — её коэффициент, а $$X$$ и $$Y$$ — произвольные точки фигуры. Тогда при гомотетии точки $$X$$ и $$Y$$ переходят в точки $$X’$$ и $$Y’$$ на лучах $$OX$$ и $$OY$$ соответственно, причём
$$OX’=k\cdot OX,\qquad OY’=k\cdot OY.$$
В векторной форме это можно записать так:
$$\overrightarrow{OX’}=k\cdot \overrightarrow{OX},\qquad \overrightarrow{OY’}=k\cdot \overrightarrow{OY}.$$
Вычтем почленно эти равенства:
$$\overrightarrow{OY’}-\overrightarrow{OX’}=k\bigl(\overrightarrow{OY}-\overrightarrow{OX}\bigr).$$
По правилу треугольника сложения векторов имеем:
$$\overrightarrow{OY’}-\overrightarrow{OX’}=\overrightarrow{X’Y’},\qquad \overrightarrow{OY}-\overrightarrow{OX}=\overrightarrow{XY}.$$
Тогда
$$\overrightarrow{X’Y’}=k\cdot \overrightarrow{XY}.$$
Следовательно,
$$X’Y’=k\cdot XY,$$
то есть все расстояния между соответствующими точками при гомотетии изменяются в одно и то же число раз. Значит, гомотетия сохраняет подобие фигур, то есть является преобразованием подобия.
