Упр.10.3 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Даны вектор $$\overrightarrow{AB}$$ и точка $$C$$. Отложите от точки $$C$$ вектор, равный вектору $$\overrightarrow{AB}$$, если: 1) точка $$C$$ лежит на прямой $$AB$$; 2) точка $$C$$ не лежит на прямой $$AB$$.

Подробный ответ

Если точка $$C$$ лежит на прямой $$AB$$, то из точки $$B$$ проводим окружность радиуса $$AC$$ и отмечаем точку $$D$$ на пересечении этой окружности с прямой $$AB$$ по другую сторону от точки $$A$$ относительно точки $$B$$. Тогда $$BD=AC$$, а значит, при параллельном переносе, переводящем $$A$$ в $$C$$, точка $$B$$ перейдёт в $$D$$. Следовательно, $$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}$$.

Если точка $$C$$ не лежит на прямой $$AB$$, то из точки $$B$$ проводим окружность радиуса $$AC$$, а из точки $$C$$ — окружность радиуса $$AB$$. Их пересечение обозначим через $$D$$, выбрав точку по одну сторону от прямой $$AB$$ с точкой $$C$$. Тогда

$$CD=AB,\qquad BD=AC.$$

Значит, четырёхугольник $$ABCD$$ — параллелограмм, поэтому его противоположные стороны равны и параллельны. Отсюда

$$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}.$$

Искомый вектор от точки $$C$$ — это $$\overrightarrow{CD}$$.