Упр.13.29 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Выразить: сторону a правильного вписанного многоугольника, через
радиус R окружности и сторону b правильного описанного многоуголь-
ника с тем же числом сторон;
Решение:
1) Так как один многоугольник вписан в ту же окружность, около
которой описан второй многоугольник, то эти многоугольники имеют
общий центр (центр этой окружности), обозначим его как точку O;
2) Пусть отрезок A1 B1=a-сторона вписанного многоугольника, а
отрезок A2 B2=b-сторона описанного многоугольника;
3) OA1=OB1=R и OA2=OB2 (так как O центр многоугольников);
4) Данные многоугольники правильные и имеют одинаковое число
сторон, значит их центрльные углы равны: угол A1 OB1 = углу A2 OB2;
5) Опустим перпендикуляр OH1 на отрезок A1 B1 и перпендикуляр OH2
на отрезок A2 B2;
6) Отрезок OH2 перпендикулярен стороне описанного многоугольника,
значит по свойству касательной и радиуса, он является радисом данной
окружности: OH2=R;
7) Треугольник OA2 B2-равнобедренный с основанием A2 B2, значит
его высота OH2 является медианой и биссектрисой, тогда:
A2 H2=1/2 A2 B2=b/2 и угол A2 OH2=1/2 угол A2 OB2;
8) Треугольник OA1 B1-равнобедренный с основанием A1 B1, значит
его высота OH1 является медианой и биссектрисой, тогда:
A1 H1=1/2 A1 B1=a/2 и угол A1 OH1=1/2 угол A1 OB1;
9) В прямоугольном треугольнике OH1 A1 по теореме Пифагора:
OH1=v(OA1^2-A1 H1^2)=v(R^2-(a/2)^2)=v(R^2-a^2/4);
10) Прямоугольные треугольники OH1 A1 и OH2 A2 подобны по острому
углу (угол A1 OH1 = углу A2 OH2)

Подробный ответ

Обозначим через $$O$$ общий центр окружности и правильных многоугольников. Пусть $$A_1B_1=a$$ — сторона правильного вписанного многоугольника, а $$A_2B_2=b$$ — сторона правильного описанного многоугольника.

Тогда $$OA_1=OB_1=R$$, а для описанного многоугольника перпендикуляр из центра к стороне равен радиусу вписанной окружности, значит $$OH_2=R$$.

Так как многоугольники правильные и имеют одинаковое число сторон, их центральные углы равны:

$$\angle A_1OB_1=\angle A_2OB_2.$$

Опустим перпендикуляры $$OH_1\perp A_1B_1$$ и $$OH_2\perp A_2B_2$$. В равнобедренных треугольниках $$OA_1B_1$$ и $$OA_2B_2$$ эти перпендикуляры являются также медианами, поэтому

$$A_1H_1=\frac a2,\qquad A_2H_2=\frac b2.$$

Из прямоугольного треугольника $$OA_1H_1$$ по теореме Пифагора:

$$ OH_1=\sqrt{OA_1^2-A_1H_1^2} =\sqrt{R^2-\left(\frac a2\right)^2} =\sqrt{R^2-\frac{a^2}{4}}. $$

Прямоугольные треугольники $$OA_1H_1$$ и $$OA_2H_2$$ подобны, так как у них равны острые углы. Поэтому

$$\frac{A_1H_1}{OH_1}=\frac{A_2H_2}{OH_2}.$$

Подставим найденные выражения:

$$ \frac{a/2}{\sqrt{R^2-\frac{a^2}{4}}}=\frac{b/2}{R}. $$

Отсюда

$$ aR=b\sqrt{R^2-\frac{a^2}{4}}. $$

Возведём в квадрат:

$$ a^2R^2=b^2\left(R^2-\frac{a^2}{4}\right) =b^2R^2-\frac{a^2b^2}{4}. $$

Перенесём слагаемые с $$a^2$$ в одну сторону: