Упр.11.29 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 29. У равнобедренного треугольника ABC с основанием АС и противолежащим углом 36° проведена биссектриса AD. 1) Докажите подобие треугольников ABC и CAD. 2) Найдите основание треугольника ABC, если его боковая сторона равна а.

Подробный ответ

Треугольник $$ABC$$ равнобедренный, значит $$\angle A=\angle C$$. Так как $$\angle B=36^\circ$$, то

$$ \angle A=\angle C=\frac{180^\circ-36^\circ}{2}=72^\circ. $$

Поскольку $$AD$$ — биссектриса угла $$A$$, имеем

$$ \angle CAD=\angle DAB=\frac{72^\circ}{2}=36^\circ. $$

В треугольнике $$CAD$$

$$ \angle ADC=180^\circ-\angle CAD-\angle ACD=180^\circ-36^\circ-72^\circ=72^\circ. $$

Следовательно, $$\angle ADC=\angle ACD$$, значит треугольник $$CAD$$ равнобедренный, и

$$ AD=AC. $$

Теперь сравним треугольники $$ABC$$ и $$CAD$$: у них

$$ \angle ACB=\angle ADC=72^\circ,\qquad \angle BAC=\angle CAD=36^\circ. $$

Значит, $$\triangle ABC \sim \triangle CAD$$ по двум углам.

Пусть $$AC=x$$. Тогда из равнобедренности треугольника $$CAD$$ получаем $$AD=x$$. Кроме того, из равнобедренности треугольника $$ABC$$ и равенства $$AB=BC=a$$ имеем

$$ BC=BD+DC. $$

Но из подобия треугольников $$ABC$$ и $$CAD$$ следует

$$ \frac{AB}{AC}=\frac{AC}{CD}, $$

то есть

$$ \frac{a}{x}=\frac{x}{CD}\quad \Rightarrow \quad x^2=a\cdot CD. $$

Так как $$CD=BC-BD=a-x$$, то

$$ x^2=a(a-x). $$

Получаем квадратное уравнение:

$$ x^2+ax-a^2=0. $$

Тогда

$$ x=\frac{-a+\sqrt{a^2+4a^2}}{2}=\frac{-a+a\sqrt5}{2}=\frac{a(\sqrt5-1)}{2}. $$

Так как $$x>0$$, берём положительный корень.