Упр.13.29 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Выразите сторону $$a$$ правильного вписанного многоугольника через радиус $$R$$ окружности и сторону $$b$$ правильного описанного многоугольника с тем же числом сторон.
Так как правильный вписанный и правильный описанный многоугольники имеют одинаковое число сторон, то их центры совпадают. Обозначим общий центр через $$O$$.
Пусть $$A_1B_1=a$$ — сторона правильного вписанного многоугольника, а $$A_2B_2=b$$ — сторона правильного описанного многоугольника.
Опустим перпендикуляры $$OH_1 \perp A_1B_1$$ и $$OH_2 \perp A_2B_2$$.
Тогда $$OA_1=OB_1=R$$, а в описанном многоугольнике $$OH_2=R$$, так как радиус, проведённый к точке касания, перпендикулярен стороне.
В равнобедренных треугольниках $$OA_1B_1$$ и $$OA_2B_2$$ высоты $$OH_1$$ и $$OH_2$$ являются также медианами, поэтому
$$A_1H_1=\frac{a}{2}, \qquad A_2H_2=\frac{b}{2}.$$
Из прямоугольного треугольника $$OA_1H_1$$ по теореме Пифагора:
$$OH_1=\sqrt{OA_1^2-A_1H_1^2} =\sqrt{R^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2} =\sqrt{R^2-\frac{a^2}{4}}.$$
Прямоугольные треугольники $$OA_1H_1$$ и $$OA_2H_2$$ подобны, так как у них равны острые углы при вершине $$O$$. Поэтому
$$\frac{A_1H_1}{A_2H_2}=\frac{OH_1}{OH_2}.$$
Подставим найденные выражения:
$$\frac{a/2}{b/2}=\frac{\sqrt{R^2-\frac{a^2}{4}}}{R}.$$
Отсюда
$$a=\frac{b\sqrt{R^2-\frac{a^2}{4}}}{R}.$$
Возведём в квадрат:
$$a^2=\frac{b^2\left(R^2-\frac{a^2}{4}\right)}{R^2}.$$
Умножим на $$4R^2$$:
$$4a^2R^2=4b^2R^2-a^2b^2.$$
Переносим слагаемые с $$a^2$$ в одну сторону:
$$a^2(4R^2+b^2)=4R^2b^2.$$
Следовательно,
$$a=\frac{2Rb}{\sqrt{4R^2+b^2}}.$$
Ответ
$$a=\frac{2Rb}{\sqrt{4R^2+b^2}}.$$
