Упр.7.29 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
Доказать: сумма длин диагоналей четырехугольника меньше периметра,
но больше полупериметра четырехугольника;
Доказательство:
1) Пусть ABCD-данный четырехугольник, диагонали AC и BD которого
пересекаются в точке O;
2) Согласно неравенству треугольника:
В треугольнике ABC: AC < AB+BC;
В треугольнике ADC: AC < AD+CD;
В треугольнике ABD: BD < AB+AD;
В треугольнике CBD: BD < BC+CD;
3) Сложим все четыре эти неравенства между собой, получим:
2(AC+BD) < 2(AB+BC+CD+AD), отсюда AC+BD < P;
4) Согласно неравенству треугольника:
В треугольнике AOB: AB < OA+OB;
В треугольнике BOC: BC < OB+OC;
В треугольнике COD: CD < OC+OD;
В треугольнике DOA: AD < OA+OD;
5) Сложим все четыре эти неравенства между собой, получим:
AB+BC+CD+AD < 2(OA+OC)+2(OB+OD), отсюда P < 2(AC+BD);
6) Разделим обе части выражения на 2, получим: AC+BD > P/2;
7) Таким образом: P/2 < AC+BD < P, что и требовалось доказать.
Пусть $$ABCD$$ — данный четырёхугольник, а его диагонали $$AC$$ и $$BD$$ пересекаются в точке $$O$$. Обозначим периметр четырёхугольника через $$P$$.
По неравенству треугольника в треугольниках $$ABC$$, $$ADC$$, $$ABD$$ и $$CBD$$ имеем:
$$AC<AB+BC,$$
$$AC<AD+CD,$$
$$BD<AB+AD,$$
$$BD<BC+CD.$$
Сложим эти неравенства:
$$2(AC+BD)<2(AB+BC+CD+AD)=2P,$$
откуда
$$AC+BD<P.$$
Теперь применим неравенство треугольника к треугольникам $$AOB$$, $$BOC$$, $$COD$$ и $$DOA$$:
$$AB<OA+OB,$$
$$BC<OB+OC,$$
$$CD<OC+OD,$$
$$AD<OA+OD.$$
Сложим полученные неравенства:
$$AB+BC+CD+AD<2(OA+OB+OC+OD).$$
Так как $$OA+OC=AC$$ и $$OB+OD=BD$$, то
$$P<2(AC+BD).$$
Следовательно,
$$AC+BD>\frac{P}{2}.$$
Итак, получаем:
$$\frac{P}{2}<AC+BD<P.$$
Ответ
$$\frac{P}{2}<AC+BD<P$$
