Упр.11.29 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. У равнобедренного треугольника $$ABC$$ с основанием $$AC$$ и противолежащим углом $$36^\circ$$ проведена биссектриса $$AD$$.
   1) Докажите подобие треугольников $$ABC$$ и $$CAD$$.
   2) Найдите основание треугольника $$ABC$$, если его боковая сторона равна $$a$$.

Пусть $$\angle B=36^\circ$$, тогда в равнобедренном треугольнике $$ABC$$ с основанием $$AC$$ имеем

$$\angle A=\angle C=\frac{180^\circ-36^\circ}{2}=72^\circ.$$

Так как $$AD$$ — биссектриса угла $$A$$, то

$$\angle CAD=\angle DAB=\frac{72^\circ}{2}=36^\circ.$$

В треугольнике $$ACD$$ найдём третий угол:

$$\angle ADC=180^\circ-\angle CAD-\angle ACD=180^\circ-36^\circ-72^\circ=72^\circ.$$

Следовательно, $$\angle ACD=\angle ABC=72^\circ$$ и $$\angle CAD=\angle ACB=36^\circ$$, значит, треугольники $$ABC$$ и $$CAD$$ подобны по двум углам.

Пусть $$AC=x$$. Тогда из подобия соответствующие стороны пропорциональны:

$$\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{CD}.$$

Так как $$AB=BC=a$$, а $$D$$ лежит на стороне $$BC$$, то

$$CD=BC-BD=a-BD.$$

Из равенства углов $$\angle BAD=\angle ADB=36^\circ$$ треугольник $$ABD$$ равнобедренный, поэтому

$$BD=AB=a.$$

Тогда

$$CD=a-x.$$

Подставим в пропорцию:

$$\frac{a}{x}=\frac{x}{a-x},$$

откуда

$$x^2=a(a-x).$$

Получаем квадратное уравнение

$$x^2+ax-a^2=0.$$

Его положительный корень:

$$x=\frac{-a+a\sqrt5}{2}=\frac{a(\sqrt5-1)}{2}.$$

Ответ: $$AC=\frac{a(\sqrt5-1)}{2}.$$