Упр.4.28 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: треугольник ABC-равнобедренный с основанием AC; угол B=36°;
AD-биссектриса;
Доказать: треугольники CDA и ADB равнобедренные;
Докзательство:
1) Так как треугольник ABC-равнобедренный, то угол BAC = углу BCA;
2) Сумма углов в треугольнике равна 180°:
угол BAC+ угол ACB+ угол ABC=180°;
2угол BAC=180°- угол ABC=180°-36°=144°;
угол ACB = углу BAC=144/2=72°;
3) Так как AD-бисектриса угла BAC, то:
угол BAD = углу DAC=1/2 угол BAC=1/2•72=36°;
4) В треугольнике BAD углы угол BAD = углу ABD=36° равны, значит этот
треугольник равнобедренный;
5) Рассмотрим треугольник ADC:
угол DAC+ угол ACD+ угол ADC=180°;
угол ADC=180°- угол DAC- угол ACD=180°-36°-72°=72°;
6)Так как угол ADC = углу DCA, то треугольник ADC-равнобедренный, что и
требовалось доказать.

Подробный ответ

Так как $$\triangle ABC$$ равнобедренный с основанием $$AC$$, то $$\angle BAC=\angle BCA$$.

По сумме углов треугольника:

$$\angle BAC+\angle BCA+\angle ABC=180^\circ,$$

а значит

$$2\angle BAC=180^\circ-36^\circ=144^\circ,$$

откуда

$$\angle BAC=\angle BCA=\frac{144^\circ}{2}=72^\circ.$$

Так как $$AD$$ — биссектриса угла $$BAC$$, то

$$\angle BAD=\angle DAC=\frac{1}{2}\angle BAC=\frac{1}{2}\cdot 72^\circ=36^\circ.$$

В треугольнике $$ABD$$ углы $$\angle BAD$$ и $$\angle ABD$$ равны, так как $$\angle ABD=\angle ABC=36^\circ$$. Следовательно, $$\triangle ABD$$ равнобедренный.

Рассмотрим треугольник $$ADC$$:

$$\angle DAC+\angle ACD+\angle ADC=180^\circ,$$

поэтому

$$\angle ADC=180^\circ-36^\circ-72^\circ=72^\circ.$$

Получаем, что $$\angle ADC=\angle ACD$$, значит, $$\triangle ADC$$ равнобедренный.