Упр.10.28 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что для любых векторов $$\mathbf{a}$$ и $$\mathbf{b}$$ $$(\mathbf{a}\mathbf{b})^2 \le \mathbf{a}^2\mathbf{b}^2$$.

Пусть угол между векторами $$\vec a$$ и $$\vec b$$ равен $$\varphi$$. Тогда по формуле скалярного произведения

$$\vec a\cdot \vec b=|\vec a|\,|\vec b|\cos\varphi.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$\left(\vec a\cdot \vec b\right)^2=|\vec a|^2\,|\vec b|^2\cos^2\varphi.$$

Так как для любого угла $$\cos^2\varphi\le 1$$, то

$$\left(\vec a\cdot \vec b\right)^2\le |\vec a|^2\,|\vec b|^2.$$

Но

$$|\vec a|^2=\vec a\cdot \vec a,\qquad |\vec b|^2=\vec b\cdot \vec b,$$

следовательно,

$$|\vec a|^2\,|\vec b|^2=a^2b^2.$$

Значит,

$$\left(\vec a\cdot \vec b\right)^2\le a^2b^2,$$

что и требовалось доказать.