Упр.13.28 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Выразить: сторону b правильного описанного многоугольника, через
радиус R окружности и сторону a правильного вписанного многоуголь-
ника с тем же числом сторон;
Решение:
1) Так как один многоугольник вписан в ту же окружность, около
которой описан второй многоугольник, то эти многоугольники имеют
общий центр (центр этой окружности), обозначим его как точку O;
2) Пусть отрезок A1 B1=a-сторона вписанного многоугольника, а
отрезок A2 B2=b-сторона описанного многоугольника;
3) OA1=OB1=R и OA2=OB2 (так как O центр многоугольников);
4) Данные многоугольники правильные и имеют одинаковое число
сторон, значит их центральные углы равны: угол A1 OB1 = углу A2 OB2;
5) Опустим перпендикуляр OH1 на отрезок A1 B1 и перпендикуляр OH2
на отрезок A2 B2;
6) Отрезок OH2 перпендикулярен стороне описанного многоугольника,
значит по свойству касательной и радиуса, он является радисом данной
окружности: OH2=R;
7) Треугольник OA1 B1-равнобедренный с основанием A1 B1, значит его
высота OH1 является медианой и биссектрисой, тогда:
A1 H1=1/2 A1 B1=a/2 и угол A1 OH1=1/2 угол A1 OB1;
8) Треугольник OA2 B2-равнобедренный с основанием A2 B2, значит
его высота OH2 является медианой и биссектрисой, тогда:
A2 B2=2A2 H2 и угол A2 OH2=1/2 угол A2 OB2;
9) В прямоугольном треугольнике OH1 A1 по теореме Пифагора.

Подробный ответ

Пусть $$A_1B_1=a$$ — сторона правильного вписанного многоугольника, а $$A_2B_2=b$$ — сторона правильного описанного многоугольника. Оба многоугольника имеют одно и то же число сторон, значит их центральные углы равны. Обозначим общий центр окружности через $$O$$.

Опустим перпендикуляры $$OH_1 \perp A_1B_1$$ и $$OH_2 \perp A_2B_2$$.

Так как $$A_1B_1$$ — хорда окружности, то в равнобедренном треугольнике $$OA_1B_1$$ высота $$OH_1$$ является также медианой, поэтому

$$A_1H_1=\frac{a}{2}.$$

В прямоугольном треугольнике $$OA_1H_1$$ по теореме Пифагора:

$$ OH_1=\sqrt{OA_1^2-A_1H_1^2} =\sqrt{R^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2} =\sqrt{R^2-\frac{a^2}{4}}. $$

Для описанного правильного многоугольника отрезок $$OH_2$$ перпендикулярен стороне $$A_2B_2$$, значит это радиус окружности:

$$OH_2=R.$$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$OA_1H_1$$ и $$OA_2H_2$$. У них равны острые углы при вершине $$O$$, так как соответствующие центральные углы равны, следовательно, треугольники подобны. Тогда

$$ \frac{A_1H_1}{OH_1}=\frac{A_2H_2}{OH_2}. $$

Отсюда

$$ A_2H_2=\frac{OH_2\cdot A_1H_1}{OH_1} =\frac{R\cdot \frac{a}{2}}{\sqrt{R^2-\frac{a^2}{4}}}. $$

Так как $$H_2$$ — середина стороны $$A_2B_2$$, то

$$ b=A_2B_2=2A_2H_2 =2\cdot \frac{R\cdot \frac{a}{2}}{\sqrt{R^2-\frac{a^2}{4}}} =\frac{aR}{\sqrt{R^2-\frac{a^2}{4}}} =\frac{2aR}{\sqrt{4R^2-a^2}}. $$