Упр.7.28 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Докажите, что медиана треугольника ABC, проведённая из вершины A, меньше полусуммы сторон AB и AC.

Пусть $$AM$$ — медиана треугольника $$ABC$$, проведённая из вершины $$A$$. Тогда $$BM=MC$$.

На полупрямой $$AM$$ отложим отрезок $$MD$$, равный $$AM$$, то есть $$MD=AM$$.

Рассмотрим треугольники $$ABM$$ и $$DCM$$. В них:

• $$AM=MD$$;
• $$BM=MC$$;
• $$\angle BMA=\angle CMD$$ как вертикальные.

Следовательно, $$\triangle ABM \cong \triangle DCM$$ по первому признаку равенства треугольников. Отсюда $$AB=DC$$.

Теперь рассмотрим треугольник $$ADC$$. По неравенству треугольника имеем:

$$AD<AC+DC.$$

Так как $$DC=AB$$, то

$$AD<AC+AB.$$

Разделим обе части неравенства на $$2$$:

$$\frac{AD}{2}<\frac{AB+AC}{2}.$$

Но $$AM=\frac{AD}{2}$$, значит

$$AM<\frac{AB+AC}{2}.$$

Что и требовалось доказать.