Упр.11.28 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке E, а продолжения
боковых сторон в точке F;
Доказать: прямая EF делит основания трапеции пополам;
Доказательство:
1) Пусть прямая EF пересекает основание BC в точке N, а основание
AD-в точке M;
2) Рассмотрим параллельные прямые AD и BC:
угол DAF = углу CBF (как соответственные углы при секущей AF);
угол FNB = углу FMA (как соответсвенные углы при секущей FM);
угол ADF = углу NCF (как соответственные углы при секущей DF);

Подробный ответ

Пусть прямая $$EF$$ пересекает основание $$BC$$ в точке $$N$$, а основание $$AD$$ — в точке $$M$$.

Так как $$AD \parallel BC$$, то

$$\angle DAF=\angle CBF$$

как соответственные углы при секущей $$AF$$,

$$\angle FNB=\angle FMA$$

как соответственные углы при секущей $$FM$$,

$$\angle ADF=\angle NCF$$

как соответственные углы при секущей $$DF$$.

Следовательно, $$\triangle AFD \sim \triangle BFC$$ по двум углам. Тогда

$$\frac{AF}{BF}=\frac{DF}{CF}=\frac{AD}{BC}=k.$$

Аналогично, $$\triangle AFM \sim \triangle BFN$$ по двум углам, значит

$$\frac{AM}{BN}=\frac{AF}{BF}=k.$$

И также $$\triangle DFM \sim \triangle CFN$$ по двум углам, поэтому

$$\frac{DM}{CN}=\frac{DF}{CF}=k.$$

Из двух последних равенств получаем

$$\frac{AM}{BN}=\frac{DM}{CN}=k,$$

откуда

$$AM=k\cdot BN,\qquad DM=k\cdot CN.$$

Так как прямая $$NM$$ проходит через точку пересечения диагоналей трапеции, то по свойству, доказанному в задаче 11.23,

$$\frac{BG}{CN}=\frac{DM}{AM}.$$

Подставляя найденные выражения, получаем

$$\frac{BG}{CN}=\frac{k\cdot CN}{k\cdot BN}=\frac{CN}{BN},$$

следовательно, $$BN=CN$$.

Тогда из равенства $$\frac{DM}{AM}=\frac{BN}{CN}$$ получаем $$DM=AM$$.

Значит, точка $$M$$ — середина основания $$AD$$, а точка $$N$$ — середина основания $$BC$$. Следовательно, прямая $$EF$$ делит основания трапеции пополам.