Упр.6.28 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Биссектриса одного из углов прямоугольника делит сторону прямоугольника пополам. Найдите периметр прямоугольника, если его меньшая сторона равна 10 см.

Пусть $$ABCD$$ — прямоугольник, $$AB=10$$ см — его меньшая сторона. Проведена биссектриса $$AM$$ угла $$A$$, причём $$BM=MC$$.

Так как $$ABCD$$ — прямоугольник, то $$\angle A=90^\circ$$. Тогда

$$\angle BAM=\frac{\angle A}{2}=45^\circ.$$

Рассмотрим треугольник $$ABM$$. Угол при вершине $$B$$ прямой, значит

$$\angle ABM=90^\circ.$$

Следовательно,

$$\angle BMA=180^\circ-90^\circ-45^\circ=45^\circ.$$

Значит, треугольник $$ABM$$ равнобедренный, поэтому

$$BM=AB=10\text{ см}.$$

По условию $$BM=MC$$, значит

$$BC=BM+MC=10+10=20\text{ см}.$$

В прямоугольнике противоположные стороны равны, поэтому $$AD=BC=20$$ см. Тогда периметр:

$$P=2(AB+BC)=2(10+20)=60\text{ см}.$$

Ответ: $$60$$ см.