Упр.3.28 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая из вершины, противолежащей основанию, является медианой и высотой.

Пусть $$\triangle ABC$$ — равнобедренный, $$AB=BC$$, а $$BD$$ — биссектриса угла $$B$$, проведённая к основанию $$AC$$.

Рассмотрим треугольники $$ABD$$ и $$CBD$$.

Имеем:

• $$AB=BC$$ — по условию;
• $$BD$$ — общая сторона;
• $$\angle ABD=\angle DBC$$ — так как $$BD$$ является биссектрисой.

Следовательно, $$\triangle ABD \cong \triangle CBD$$ по двум сторонам и углу между ними.

Отсюда получаем:

• $$AD=DC$$;
• $$\angle ADB=\angle BDC$$.

Так как точки $$A, D, C$$ лежат на одной прямой, углы $$\angle ADB$$ и $$\angle BDC$$ смежные. Равные смежные углы могут быть только прямыми, значит

$$\angle ADB=\angle BDC=90^\circ.$$

Итак, $$D$$ — середина отрезка $$AC$$, значит $$BD$$ является медианой, и одновременно $$BD \perp AC$$, значит $$BD$$ является высотой.

Ответ: биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая из вершины к основанию, является медианой и высотой.