Упр.4.28 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- В равнобедренном треугольнике $$ABC$$ с основанием $$AC$$ и углом при вершине $$B$$, равным $$36^\circ$$, проведена биссектриса $$AD$$. Докажите, что треугольники $$CDA$$ и $$ADB$$ равнобедренные (рис. 88).
Так как $$\triangle ABC$$ равнобедренный с основанием $$AC$$, то $$\angle BAC=\angle BCA$$.
По сумме углов треугольника:
$$\angle BAC+\angle BCA+\angle ABC=180^\circ,$$
а значит
$$2\angle BAC=180^\circ-36^\circ=144^\circ,$$
следовательно,
$$\angle BAC=\angle BCA=\frac{144^\circ}{2}=72^\circ.$$
Так как $$AD$$ — биссектриса угла $$BAC$$, то
$$\angle BAD=\angle DAC=\frac{1}{2}\angle BAC=\frac{72^\circ}{2}=36^\circ.$$
В треугольнике $$ABD$$ углы $$\angle BAD$$ и $$\angle ABD$$ равны $$36^\circ$$, значит, $$\triangle ABD$$ равнобедренный.
Рассмотрим треугольник $$ADC$$. По сумме его углов:
$$\angle DAC+\angle ACD+\angle ADC=180^\circ,$$
откуда
$$\angle ADC=180^\circ-36^\circ-72^\circ=72^\circ.$$
Получаем, что $$\angle ADC=\angle ACD$$, значит, $$\triangle ADC$$ равнобедренный.
Ответ: $$\triangle ABD$$ и $$\triangle ADC$$ равнобедренные.
