Упр.15.28 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Основание пирамиды — параллелограмм, у которого стороны 3 см и 7 см, а одна из диагоналей 6 см; высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей, она равна 4 см. Найдите боковое ребро пирамиды.

Подробный ответ

Пусть $$PABCD$$ — данная пирамида, где основание $$ABCD$$ — параллелограмм. Тогда $$AB=7$$ см, $$AD=3$$ см, одна из диагоналей равна $$BD=6$$ см.

По свойству параллелограмма сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон:

$$2(AB^2+AD^2)=AC^2+BD^2.$$

Отсюда

$$AC^2=2(AB^2+AD^2)-BD^2=2(7^2+3^2)-6^2=2(49+9)-36=80,$$

значит,

$$AC=\sqrt{80}=4\sqrt{5}\text{ см}.$$

Проведём высоту $$PO$$ пирамиды. По условию $$PO=4$$ см, а точка $$O$$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма. Тогда

$$DO=\frac{1}{2}BD=3\text{ см}, \qquad AO=\frac{1}{2}AC=2\sqrt{5}\text{ см}.$$

В прямоугольном треугольнике $$DOP$$:

$$DP=\sqrt{DO^2+PO^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=5\text{ см}.$$