Упр.13.28 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Выразите сторону $$b$$ правильного описанного многоугольника через радиус $$R$$ окружности и сторону $$a$$ правильного вписанного многоугольника с тем же числом сторон.

Так как правильный вписанный и правильный описанный многоугольники имеют одинаковое число сторон, то их центральные углы равны. Обозначим через $$A_1B_1=a$$ сторону вписанного многоугольника, а через $$A_2B_2=b$$ сторону описанного многоугольника.

Пусть $$O$$ — центр окружности. Тогда $$OA_1=OB_1=R$$. Опустим перпендикуляры $$OH_1\perp A_1B_1$$ и $$OH_2\perp A_2B_2$$.

В треугольнике $$OA_1B_1$$ высота $$OH_1$$ является также медианой, поэтому

$$A_1H_1=\frac{a}{2}.$$

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $$OA_1H_1$$ получаем:

$$OH_1=\sqrt{OA_1^2-A_1H_1^2} =\sqrt{R^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2} =\sqrt{R^2-\frac{a^2}{4}}.$$

Для описанного многоугольника $$OH_2$$ — радиус окружности, значит $$OH_2=R$$. Треугольники $$OA_1H_1$$ и $$OA_2H_2$$ подобны, так как у них равны острые углы при вершине $$O$$. Поэтому

$$\frac{OH_1}{OH_2}=\frac{A_1H_1}{A_2H_2}.$$

Отсюда

$$A_2H_2=\frac{OH_2\cdot A_1H_1}{OH_1} =\frac{R\cdot \frac{a}{2}}{\sqrt{R^2-\frac{a^2}{4}}}.$$

Так как $$b=A_2B_2=2A_2H_2$$, то

$$b=2\cdot \frac{R\cdot \frac{a}{2}}{\sqrt{R^2-\frac{a^2}{4}}} =\frac{aR}{\sqrt{R^2-\frac{a^2}{4}}} =\frac{2aR}{\sqrt{4R^2-a^2}}.$$

Ответ: $$b=\frac{2aR}{\sqrt{4R^2-a^2}}$$.