Упр.12.28 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. В треугольнике заданы две стороны и угол, противолежащий одной из сторон. Найдите остальные углы и третью сторону треугольника, если:
   1) $$a=12$$, $$b=5$$, $$\alpha=120^\circ$$;
   2) $$a=27$$, $$b=9$$, $$\alpha=138^\circ$$;
   3) $$a=34$$, $$b=12$$, $$\alpha=164^\circ$$;
   4) $$a=2$$, $$b=4$$, $$\alpha=60^\circ$$;
   5) $$a=6$$, $$b=8$$, $$\alpha=30^\circ$$.

Обозначим углы треугольника так: $$\alpha$$ — угол, противолежащий стороне $$a$$, $$\beta$$ — угол, противолежащий стороне $$b$$, $$\gamma$$ — третий угол, противолежащий стороне $$c$$.

1) $$a=12,\ b=5,\ \alpha=120^\circ$$

По теореме синусов:

$$\frac{a}{\sin \alpha}=\frac{b}{\sin \beta}$$

Отсюда

$$\sin \beta=\sin 120^\circ\cdot \frac{5}{12}\approx 0{,}8660\cdot \frac{5}{12}\approx 0{,}3608,$$

значит, $$\beta \approx 21^\circ$$.

Тогда

$$\gamma=180^\circ-\alpha-\beta=180^\circ-120^\circ-21^\circ\approx 39^\circ.$$

Теперь найдём сторону $$c$$:

$$\frac{a}{\sin \alpha}=\frac{c}{\sin \gamma}$$

откуда

$$c=a\cdot \frac{\sin \gamma}{\sin \alpha}=12\cdot \frac{\sin 39^\circ}{\sin 120^\circ}\approx 12\cdot \frac{0{,}6293}{0{,}8660}\approx 8{,}7.$$

2) $$a=27,\ b=9,\ \alpha=138^\circ$$

По теореме синусов:

$$\sin \beta=\sin 138^\circ\cdot \frac{9}{27}\approx 0{,}6691\cdot \frac{1}{3}\approx 0{,}2230,$$

значит, $$\beta \approx 13^\circ$$.

Тогда

$$\gamma=180^\circ-138^\circ-13^\circ\approx 29^\circ.$$

Найдём сторону $$c$$:

$$c=27\cdot \frac{\sin 29^\circ}{\sin 138^\circ}\approx 27\cdot \frac{0{,}4848}{0{,}6691}\approx 19{,}6.$$

3) $$a=34,\ b=12,\ \alpha=164^\circ$$

По теореме синусов:

$$\sin \beta=\sin 164^\circ\cdot \frac{12}{34}\approx 0{,}2756\cdot \frac{12}{34}\approx 0{,}0973,$$

значит, $$\beta \approx 6^\circ$$.

Тогда

$$\gamma=180^\circ-164^\circ-6^\circ\approx 10^\circ.$$

Найдём сторону $$c$$:

$$c=34\cdot \frac{\sin 10^\circ}{\sin 164^\circ}\approx 34\cdot \frac{0{,}1736}{0{,}2756}\approx 21{,}4.$$

4) $$a=2,\ b=4,\ \alpha=60^\circ$$

По теореме синусов:

$$\sin \beta=\sin 60^\circ\cdot \frac{4}{2}\approx 0{,}8660\cdot 2\approx 1{,}732.$$

Но $$\sin \beta \le 1$$, значит такого треугольника не существует.

5) $$a=6,\ b=8,\ \alpha=30^\circ$$

По теореме синусов:

$$\sin \beta=\sin 30^\circ\cdot \frac{8}{6}=0{,}5\cdot \frac{4}{3}=\frac{2}{3}.$$

Так как $$\alpha<90^\circ$$, возможны два значения угла $$\beta$$:

$$\beta_1\approx 42^\circ,\qquad \beta_2=180^\circ-42^\circ\approx 138^\circ.$$

Тогда

$$\gamma_1=180^\circ-30^\circ-42^\circ\approx 108^\circ,$$

$$\gamma_2=180^\circ-30^\circ-138^\circ\approx 12^\circ.$$

Найдём сторону $$c$$:

$$c_1=6\cdot \frac{\sin 108^\circ}{\sin 30^\circ}\approx 6\cdot \frac{0{,}9510}{0{,}5}\approx 11{,}4,$$

$$c_2=6\cdot \frac{\sin 12^\circ}{\sin 30^\circ}\approx 6\cdot \frac{0{,}2079}{0{,}5}\approx 2{,}5.$$

Ответ:

1) $$c\approx 8{,}7,\ \beta\approx 21^\circ,\ \gamma\approx 39^\circ$$;

2) $$c\approx 19{,}6,\ \beta\approx 13^\circ,\ \gamma\approx 29^\circ$$;

3) $$c\approx 21{,}4,\ \beta\approx 6^\circ,\ \gamma\approx 10^\circ$$;

4) решения не имеет;

5) $$c\approx 11{,}4,\ \beta\approx 42^\circ,\ \gamma\approx 108^\circ$$ или $$c\approx 2{,}5,\ \beta\approx 138^\circ,\ \gamma\approx 12^\circ$$.